- •Системы трёх линейных уравнений с тремя неизвестными имеют вид:
- •5, 6,7,8. Прямая на плоскости
- •9. Расстояние от данной точки до данной прямой
- •Угол между прямыми на плоскости
- •17.Векторное произведение векторов
- •18. Смешанное произведение трех векторов
- •Свойства предела последовательности. Общие свойства.
- •20. Предел функции
- •Свойства пределов функции
- •21. Непрерывность функции в точке.
- •2. Физический и геометрический смысл производной
- •1) Физический смысл производной.
- •2) Геометрический смысл производной.
- •Производные высших порядков
- •25. Действия с комплексными числами, заданных в алгебраической форме
- •26. 1.4.3. Тригонометрическая форма записи комплексных чисел
- •28. Неопределенный интеграл
- •30. Интегрирование путем подведения под знак дифференциала
- •33. Формула Ньютона — Лейбница.
- •38. Функции нескольких переменных
- •39. I числовые ряды
- •40. Функциональные ряды
- •42. Дифференциальные уравнения 1. Основные понятия
- •43. 2. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка
- •45. Дифференциальные уравнения, допускающие понижение порядка
40. Функциональные ряды
Формально записанное выражение
(25)
где - последовательность функций от независимой переменной x, называется функциональным рядом.
Примерами функциональных рядов могут служить:
(26)
(27)
Придавая независимой переменной x некоторое значение и подставляя его в функциональный ряд (25), получим числовой ряд
Если он сходится, то говорят, что функциональный ряд (25) сходится при ; если он расходится, что говорят, что ряд (25) расходится при .
41. Степенные ряды Определение
Ряд, членами которого являются степенные функции аргумента x, называется степенным рядом:
Часто рассматривается также ряд, расположенный по степеням (x − x0), то есть ряд вида
где x0 − действительное число.
Интервал и радиус сходимости
Рассмотрим функцию . Ее областью определения является множество тех значений x, при которых ряд сходится. Область определения такой функции называется интервалом сходимости.
Если интервал сходимости представляется в виде , где R > 0, то величина R называетсярадиусом сходимости. Сходимость ряда в конечных точках интервала проверяется отдельно. Радиус сходимости можно вычислить, воспользовавшись радикальным признаком Коши, по формуле
или на основе признака Даламбера:
42. Дифференциальные уравнения 1. Основные понятия
Определение. Уравнение вида F(x,y,y',y'',…,y(n)) = 0, (*) связывающее аргумент х, функцию у(х) и ее производные, называется дифференциальным уравнением n-го порядка. Определение. Общим решением дифференциального уравнения n-го порядка называется функция у = φ(х, С1,С2,…,Сn), которая зависит от аргумента х и nнезависимых произвольных постоянных С1, С2, …, Сn, обращающая вместе со своими производными у', у'',…, у(n) уравнение (*) в тождество. Определение. Частным решением уравнения (*) называется решение, которое получается из общего решения, если придавать постоянным С1, С2, …, Сnопределенные числовые значения.
Уравнения с разделяющимися переменными
Самым простым примером уравнения первого порядка является уравнение с разделяющимися переменными.
Дифференциальное уравнение , допускающее запись в виде
,
а также уравнение в дифференциалах, которое можно записать в форме
называются уравнениями с разделяющимися переменными.
Предполагается, что функция определена и непрерывна на отрезке , а функция определена и непрерывна на отрезке . Для решения такого уравнения надо обе его части умножить или разделить на такое выражение, чтобы в одну часть уравнения входило только в другую – только , а затем проинтегрировать обе части.
При делении обеих частей уравнения на выражение, содержащее и могут быть потеряны решения, обращающие это выражение в нуль.
43. 2. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка
Определение. Уравнение вида y'+ρ(x)y=f(x), где ρ(x) и f(x) непрерывные функции, называется линейным дифференциальным уравнением первого порядка. Пример. Найти общее решение уравнения y'+3y=e2x и частное решение,удовлетворяющее начальным условиям х=0, у=1. Решение. Данное уравне
ние является линейным. Здесь ρ(x)=3 и f(x)=e2x. Решение ищем в виде y=U∙υ, где U и υ – некоторые функции от х. Находим y'= U'υ+ Uυ' и подставляем в уравнение значение y и y', получаем: U'υ+Uυ'+3Uυ=e2x или U'υ+U(υ'+3υ)= e2x. Найдем одно значение υ, при котором выражение в скобках, обращается в нуль: υ'+3υ=0. Получим уравнение с разделяющимися переменными. Решая его получаем: ln υ =–3x,υ=e–3x. Подставляем найденное значение υ в исходное дифференциальное уравнение, получаем уравнение с разделяющимися переменными: . Итак, общее решение данного уравнения имеет вид: . Найдем частное решение. Для этого подставим начальные условия в выражение для общего решения и найдем С. . Частное решение имеет вид: .
44