- •Системы трёх линейных уравнений с тремя неизвестными имеют вид:
- •5, 6,7,8. Прямая на плоскости
- •9. Расстояние от данной точки до данной прямой
- •Угол между прямыми на плоскости
- •17.Векторное произведение векторов
- •18. Смешанное произведение трех векторов
- •Свойства предела последовательности. Общие свойства.
- •20. Предел функции
- •Свойства пределов функции
- •21. Непрерывность функции в точке.
- •2. Физический и геометрический смысл производной
- •1) Физический смысл производной.
- •2) Геометрический смысл производной.
- •Производные высших порядков
- •25. Действия с комплексными числами, заданных в алгебраической форме
- •26. 1.4.3. Тригонометрическая форма записи комплексных чисел
- •28. Неопределенный интеграл
- •30. Интегрирование путем подведения под знак дифференциала
- •33. Формула Ньютона — Лейбница.
- •38. Функции нескольких переменных
- •39. I числовые ряды
- •40. Функциональные ряды
- •42. Дифференциальные уравнения 1. Основные понятия
- •43. 2. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка
- •45. Дифференциальные уравнения, допускающие понижение порядка
2. Физический и геометрический смысл производной
1) Физический смысл производной.
Если функция y = f(x) и ее аргумент x являются физическими величинами, то производная – скорость изменения переменной y относительно переменной x в точке . Например, если S = S(t) – расстояние, проходимое точкой за время t, то ее производная – скорость в момент времени . Если q = q(t) – количество электричества, протекающее через поперечное сечение проводника в момент времени t, то – скорость изменения количества электричества в момент времени , т.е. сила тока в момент времени .
2) Геометрический смысл производной.
Пусть – некоторая кривая, – точка на кривой .
Любая прямая, пересекающая не менее чем в двух точках называется секущей.
Касательной к кривой в точке называется предельное положение секущей , если точка стремится к , двигаясь по кривой.
Из определения очевидно, что если касательная к кривой в точке существует, то она единственная
23. Правила дифференцирования При дифференцировании константу можно выносить за производную: Правило дифференцирования суммы функций: Правило дифференцирования разности функций: Правило дифференцирования произведения функций (правило Лейбница): Правило дифференцирования частного функций: Правило дифференцирования функции в степени другой функции: Правило дифференцирования сложной функции: Правило логарифма при дифференцировании функции:
ПРОИЗВОДНЫЕ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Производные высших порядков
Если f '(x) — производная функции f (x), то производная от нее по независимой переменной x, (f '(x))' = f ''(x), называется производной второго порядка. Аналогично определены производные 3-го, 4-го, , и т.д, n-го порядка: f''' (x) = ( f'' (x))' , f (4)(x) = (f''' (x))' , f (n)(x) = (f (n -1)(x))'
24. Правила нахождения наибольшего и наименьшего значений функции, непрерывной на сегменте.
1) Найти значения f(a) и f(b) на концах данного сегмента;
2) Найти критические точки функции fна (a,b) и вычислить в них значения функции;
3) Сравнив между собой, найденные в 1) и 2) значения функции, выбрать наименьшее и наибольшее из них.
Пример 1.
Найти локальные экстремумы функции f(x)=43·x4−x3−9·x2+1 . 1) способ. Функция всюду дифференцируема, поэтому ее критические точки будут стационарными точками. И так как f′(x)=3·x3−3·x2−18·x=3x·(x+2)·(x−3) при переходе через точки -2,0,3 меняет свой знак, то в каждой из них функция имеет свой локальный экстремум.
При переходе через точку х=0 f′меняет свой знак с `+' на `-', значит f(0)=1- локальный max. х=−2, х=3f′ меняет свой знак с `-' на `+', значитf(−2)=−15, f(3)=−185/4 , - локальные min. 2) способ.
f′′(x)=9·x2−6x−18 f′′(−2)>0,f′′(0)<0,f′′(3)>0
По Теореме f(0)=1 - локальный max, f(−2)=−15, f(3)=−185/4 - локальные min