Свойства математического ожидания

1. Математическое ожидание постоянной величины равно этой постоянной величине.

2. Математическое ожидание суммы случайный величин равно сумме их математических .

Решим следующую задачу.

Найти математическое ожидание числа m появлений события А в n повторных испытаниях, если вероятность появления его в отдельном испытании равна p.

Поскольку P_i = p, то

. (5.8)

3. Математическое ожидание произведения двух независимых случайных величин равно произведению их математических ожиданий, т.е. если X и Y – независимые случайные величины, то

M(XY) = M(X)M(Y). (5.9)

Дисперсия и средне квадратичное отклонение

Результат испытания или измерения считается удачным, если математическое ожидание случайной переменной Х определяется при незначительных отклонениях . Поэтому возникает необходимость введения величины отклонения случайной величины от ее среднего значения. Разность является мерой разброса случайной величины от ее математического ожидания (среднего значения). Важным утверждением является следующее:

Математическое отклонение случайной величины от ее математического ожидания (среднего значения) всегда равна нулю.

Иначе говоря,

. (5.10)

Величина отклонения не является "хорошей" характеристикой разброса, поскольку его нельзя охарактеризовать средним значением. Средним отклонением назовем величину

. (5.11)

Для характеристики разброса случайной величины часто применяют среднее значение квадрата отклонения, которое называется дисперсией случайной величины D(X). По определению

. (5.12)

Можно показать, что дисперсия случайной величины равна разности между средним значением (математическим ожиданием) квадрата случайной величины и квадратом ее среднего значения. Иначе говоря,

. (5.13)

Дисперсия дает представление о том, чему в среднем равен квадрат отклонения . Для оцеки самой величины отклонения служит , т.е. среднее квадратичное отклонение.

. (5.14)

Эта величина может служить характеристикой отклонения случайной величины от ее среднего значения. Применение среднего квадратичного отклонения для характеристики степени разброса случайной величины выгодно по следующим причинам.

(1) Среднее отклонение обычно меньше, но никогда не превышает квадратического отклонения, а это означает, что среднее квадратичное отклонение заметнее выражает имеющееся рассеяние случайной величины, чем среднее отклонение.

(2) Если рассматривается сумма независимых случайных величин, то для нее действует правило сложения дисперсий, что существенно упрощает отыскание среднего квадратичного отклонения.

Важными правилами являются следующие утверждения:

(1) среднее значение квадрата любой случайной величины всегда не меньше, чем квадрат среднего значения этой случайной величины, т.е.

; (5.15)

(2) дисперсия суммы попарно независимых случайных величин равна чумме дисперсий ее отдельных слагаемых, т.е.

D(X+Y+Z+…+U+V) = D(X)+D(Y)+D(Z)+…+D(U)+D(V); (5.16)

(3) величина определяет среднее квадратичное отклонение числа (m) появлений события А (причем вероятность события А равна р, а вероятность наступления события равна q) в n независимых испытаниях.