10

Прогнозирование Лекция 05 С.В. Зеленцов

Случайные величины и их свойства

Случайной величиной называется переменная, которая может принимать случайные значения в зависимости от исхода испытания. Она может быть как дискретной, так и непрерывной.

Случайная дискретная величина X определена, если даны все ее возможные значения x₁, x₂, …, x_k и соответствующие им вероятности P(x_i) = p_i. Она задается таблицей распределения.

x1	x2	…	xk
p1	p2	…	pk

В этой таблице величины x₁, x₂, …, x_k расположены в порядке возрастания, причем сумма всех вероятностей равна 1. Представление в виде таблицы совокупности всех значений случайной величины и соответствующих вероятностей каждой из них, т.е. функции P(x), связывает значение x_i с соответствующими вероятностями, называется законом распределения случайной величины.

Для непрерывной случайной величины закон распределения должен определять вероятность попадания ее значений в некоторый интервал.

Пусть X – непрерывная случайная величина. Тогда условие X<x для ее значений можно рассматривать как событие, вероятность наступления которого является некоторой функцией от x.

F(x) = P(X<x) (5.1)

F(x) называется интегральной функцией распределения случайной величины.

Свойства интегральной функцией распределения случайной величины

1. Значение интегральной функцией распределения случайной величины находится в интервале [0,1], т.е. 0  F(x)  1.

2. При  имеет место F()  F().

3. F() = 1.

4. F(-) = 0.

5. F(x) – непрерывная функция.

6. Выразим с помощью введенной функции вероятность того, что случайная величина x удовлетворяет условию x<, т.е. найдем P(x<). Можно показать, что

P(x<) = F() - F(). (5.2)

Иными словами, вероятность того, что случайная величина принимает какое-либо значение внутри отрезка [,] в виде приращения функции F(x).

Для дискретной случайной величины значение функции распределения есть сумма вероятностей тех значений случайной величины, которые удовлетворяют условию X<x.

Как уже отмечалось, функция F(x) называется интегральной функцией распределения. Введем понятие о дифференциальном законе распределения вероятностей или о плотности распределения вероятности, x.

По определению

(5.3)

Очевидно, что

. (5.4)

Иначе говоря, произведение xdx приближенно определяет вероятность того, что случайная величина X принимает некоторое значение в интервале (x, x+x). Разница между функциями F(x) и x продемонстрирована на приведенных ниже рисунках.

Очевидно, что

. (5.5)

Среднее значение или математическое ожидание случайной величины

По определению среднее значение или математическое ожидание случайной величины есть сумма всех произведений всех возможных значений случайной величины на соответствующие вероятности

, (5.6)

причем

. (5.7)

Пример. Найти среднее значение количества годных изделий из 5 шт., если вероятность получения годного изделия равна 0.8.

Очевидно, что вероятность распределена здесь по биномальному закону.

xi	0	1	2	3	4	5
Pi	P0,5	P1,5	P2,5	P3,5	P4,5	Pi,5
Pi,5	1/3125	40/3125	160/3125	640/3125	1280/3125	1024/3125

M(X) =(01 + 140 + 2160 +3640+41280+51024)/3125 = 4.

Случайные величины X и Y называются независимыми, если закон распределения этих величин не изменяется, когда становится известно, что другая приняла какое-либо одно значение.