С.В. Зеленцов
2. Элементы прикладной статистики
2.1. Основные понятия теории вероятности
Основу математического аппарата прогнозирования свойств и оценки надежности изделий микроэлектроники при их эксплуатации представляет теория вероятностей. Адекватность ее определяется тем, что отказы микроэлектронных изделий носят, чаще всего, случайный характер как во времени появления, так и, иногда, по месту появления, поэтому должны рассматриваться как случайные события (переменные). Именно случайные события и общие черты, присущие им, независимо от их конкретной (физической) природы случайного события составляют суть теории вероятностей. По определению, теория вероятности – раздел математики, который изучает объекты и/или связи между ними случайного характера, причем случайным называется событие (или какая-то характеристика объекта), наступление которого нельзя предвидеть или предсказать) с достоверностью. Случайным событием является также равенство функциональной характеристики объекта какому-либо наперед заданному значению.
В природе есть группа явлений, которые нельзя или нерационально описывать при помощи детерминистких законов. Обычно такие явления связаны либо с большими группами объектов, обладающих какой-то определенной (присущей всем объектам) количественной характеристикой, либо с большим числом состояний одного объекта в различные временные и пространственные промежутки. Именно они и являются случайными.
В качестве примеров случайных событий можно назвать:
(1) А = выпадение «орла» при бросании монетки;
(2) A = равенство измеряемой величины свойства объекта некоторому наперед заданному значению;
(3) А = то, что в определенный временной или пространственной точке объект будет находиться в состоянии, в котором наблюдается равенство измеряемой (определяемой) величины конкретному значению.
Изучение любого явления посредством наблюдения или проведения экспериментов связано с выполнением комплекса условий эксперимента или наблюдения, называемого испытанием. Всякий результат или исход испытания называется событием. Введем меру объективной возможности появления события. Ею является относительная частота - основная характеристика случайного события. Она определяется как отношение:
,
(2.1)
где 0 Fn(A) 1, m – число испытаний, когда случайное событие А происходит, а n – общее число испытаний, в части из которых (m) событие А происходит, а в другой части (n-m) – не происходит.
Статистической вероятностью называется величина Р(А), около которой колеблется относительная частота наступления события при бесконечном увеличении общего числа случаев. По определению (при сохранении неизменными условий наблюдения события !)
.
(2.2)
Иначе говоря, под вероятностью Р(А) события А будем понимать отношение числа случаев его наблюдения в испытании к общему числу несовместимых, единственно возможных событий.
Часто при проведении испытаний наблюдается несколько случайных событий. Они могут быть совместимыми и несовместимыми. Если появление одного из событий исключает появление другого события, то они называются несовместимыми. По определению, события А., В и С являются несовместимыми, если в условиях испытаний каждый раз возможно появление только одного из них. И, напротив, они являются совместимыми, если в данном испытании появление одного из них не исключает появления другого.