Очевидно, что

Р(А) = Р( ) + Р(АВ) ,

Р(В) = Р( ) + Р(АВ) .

Отсюда

Р( ) = Р(А) - Р(АВ) ,

Р( ) = Р(В) - Р(АВ) .

И, наконец,

Р(А+В) = Р(A) + Р(B) - Р(AB). (2.12)

Последняя формула является обобщенной формулой сложения, и выражает вероятность появления одного из двух событий при их совместном наступлении.

Часто возникает следующая задача.

Пусть дана система единственно возможных и несовместимых событий A₁, A₂, …, A_n, и событие E, которое может наступить лишь совместно с одним из событий A_i. Требуется найти P(E) – вероятность наступления события E, если известны вероятности P(A_i) и P(E|A_i).

С такой задачей связано, например, вычисление вероятности попадания на сборку стандартной детали из партии деталей, изготовленных на нескольких станках, если для каждого станка известны его доля в общем выпуске и процент стандартных деталей в общем числе выпускаемых деталей.

Искомая вероятность

Р(Е) = Р( или A₁E, или A₂E, …, или A_nE).

По теореме сложения вероятностей

P(E) = P(и A₁, и E) + P(и A₂, и E) + … + P(и A_n, и E).

Применяя к каждому слагаемому теорему об умножении вероятностей, получим следующую систему равенств:

P(и A₁, и E) = P(A₁)P(E|A₁),

P(и A₂, и E) = P(A₂)P(E|A₂),

…

P(и A_n, и E) = P(A_n)P(E|A_n).

Отсюда

P(E) = P(A₁)P(E|A₁) + P(A₂)P(E|A₂) + … + P(A_n)P(E|A_n)

или

. (2.13)

Эта формула носит название формулы полной вероятности. Поясним ее использование на примере.

Пример 2.6. Пластмассовые заготовки изготавливаются на трех прессах, причем с пресса 1 выходит в среднем 2.5%, с пресса 2 выходит в среднем 2%, а с пресса 3 – 1.5% нестандартных деталей. Пресс 1 вырабатывает 50 % всех заготовок, пресс 2 – 30 %, а пресс 3 – 20 %. Найти вероятность того, что наудачу взятая заготовка соответствует стандарту.

Решение. Здесь P(A₁) = 0.5; P(A₂) = 0.3 и P(A₃) = 0.2. Пусть событие E есть соответствие заготовки стандарту. Очевидно, что

P(E|A₁) = 0.975;

P(E|A₂) = 0.980;

P(E|A₃) = 0.985.

Отсюда

P(A₁)P(E|A₁) = 0.50.975 = 0.4875;

P(A₂)P(E|A₂) = 0.30.98 = 0.294;

P(A₃)P(E|A₃) = 0.20.986 = 0.197.

Таким образом,

P(E) = 0.4875 + 0.294 + 0.197 = 0.9785.

Если событие E произошло, но неизвестно, совместно с каким из событий A₁, A₂, …, A_n, то может возникнуть вопрос об определении вероятности того, что событие E наступило вместе с каким-то одним событием A_i из всех единственно возможных. При такой постановке вопроса события A₁, A₂, …, A_n оказываются гипотезами, вероятности которых следует определить.

Вероятность гипотезы A_i есть

(2.14)

или

. (2.15)

Формулы (2.14) и (2.15) носят название формул Байеса.