Вопрос 31.Директрисы эллипса и гиперболы.

Две прямые, перпендикулярные большой оси эллипса и расположенные симметрично относительно центра от него называются директрисами эллипса.

Уравнение директрисы эллипса, заданного каноническим уравнением имеют вид:

Т.к. для эллипса E<1, то отсюда следовательно правая директриса расположена правее правой вершины эллипса, а левая-левее его левой вершины.

Две прямые, перпендикулярные действительной оси гиперболы и расположенные симметрично относительно центра на расстояние от него называются директрисами гиперболы. Ур-я

Для гиперболы E>1 что правая директриса расположена между центром и правой вершиной гиперболы, а левая-между центром т левой вершины.

С помощью директрисы и эксцентриситета можно сформировать общее свойство, присущее эллипсу и гиперболе.

Множество всех точек, для которых отношение расстояния до фокуса и соответственно директрисы является величиной постоянной, равной =E-есть эллипс, если E>1 и гипербола, если E>1.

Возникает вопрос: что представляет собой множество точек, при условии E=1.

Оказывается это линия второго порядка, называемая гиперболой.

Вопрос 32.Парабола.

Параболой называется множество всех точек плоскости, каждая из которых находится на одинаковом расстоянии от данной точки, называемой фокусом, и от данной прямой, называемой директрисой и не проходящей через фокус.

Для вывода уравнения параболы введем прямоугольную систему координат так, чтобы ось абсцисс проходила через фокус директрисе.

Начало координат расположен посередине между фокусом и директрисой. Пусть M(x;y)-произвольная точка плоскости, r-расстояние от точки M до фокуса F. d-расстояние от M до директрисы. p –расстояние от фокуса до директрисы.

Величину p называют параметром параболы. По определению, точка M будет лежать на параболе, если r=d (7).

Фокус F имеет координаты ( ;0), поэтому r=|FM|= . Расстояние d выражается равенством d=|MQ|=x+ . Последняя формула верна для x≥0. Если x<0, то r>d и такая точка на параболе не лежит.

Из (7) имеет:

(8) – уравнение параболы.

Приведем его к более удобному виду, возведя обе части в квадрат

(9)-уравнение параболы.

Уравнение (9) называется каноническим уравнением параболы.

Исследуем параболу по уравнению (9). Т.к. (9) содержит y в четной степени, то парабола симметрична относительно ОХ, поэтому достаточно рассмотреть ее част., лежащую в верхней полуплоскости. Для этой части y≥0.

(10)

Отсюда следует, что:

1.Если x<0, то под корнем отрицательное выражение, следовательно, левее оси OY нет ни одной точки параболы (10).

2.Если x=0, то y=0 и начало координат лежит на параболе и является ее самой левой точкой.

3. При возрастании x, возрастает y, причем, если x→∞, то y может →∞.

Т.о. производя симметрическое отражение в рассматриваемой части относительно оси OX, получим всю параболу.

Точка О называется вершиной параболы, а ось симметрии-осью параболы. Число p выражает расстояние от F до директрисы и характеризует ширину области, ограниченной параболой.

Парабола в уравнении которой y²= -- 2px, p>0 располагается слева.

Вершина этой параболы совпадает с началом координат и осью симметрии является ось ОХ- Уравнение параболы.