П

5

онятие дифференцируемой функции. дифференциал. необходимое условие.

Дифференциальные уравнения

О1 если функция имеет производную то эту функцию называют дифференцируемой в данной точке.

Если функция дифференциема в каждой точке отрезка (ab] или интервал (ab) то ее называют дифференциемой на отрезке или в интервале.

T-1 (необходимое условие существование производной)

Если функция дифференциема в некоторой точке то она непрерывна в этой точке, имеет в ней производные

Замечание обратное утверждение не верно!

функция не прерывна на отрезке

дифференциал

Пусть диффиренциема на отрезке (ab]

Опр произведение называют дифферинцалом функции f(х) обозначают dy dy=

рассмотрим функцию y=x

производная функция отличается от дифференциала на бесконечно малую величину 2 порядка в приближенные вычисления можно использовать формулу

отсюда формула приближоного вычисления

пример найти и для функции

а)для любого значения б) для х=20

О

6

сновные теоремы дифференциального исчисления

Теорема Роля

Если функция не прерывна на отрезке АВ и дифференциема во всех точках отрезка и на концах обращается в 0 то есть то внутри отрезка АВ существует по крайней мере одна точка С (А<C<B) в которой f(x)=>0 f'(c)=0.(обращается в ноль)

Замечание 1. Теорема имеет простую геометрическую интерпретацию: между значениями а и b имеется по меньшей мере одно значение с такое, что в точке С (с, f(c)) графика функции касательная к графику параллельна оси Ох.

Замечание 2. Теорему можно сформулировать в более общем виде. Если у = f(x) - функция, дифференцируемая на отрезке [а, b] и f(а) = f(b), то между а и b найдется точка с, в которой производная равна нулю, т. е. f'(с) = 0.

Геометрический смысл роля

Докозательство

Если функция удовлетворяет условию теоремы то внутри отрезка [АВ] существует хотя бы 1 точка С которая паралельна оси ОХ.

 1. Функция f(x) постоянна на интервале [а, b]; тогда f ' (x) = 0 для любого x (a < x < b), т.е. утверждение теоремы Ролля выполняется автоматически. 2. Функция f(x) не является постоянной (Рисунок 1); тогда наибольшего или наименьшего или обоих этих значений она достигает во внутренней точке интервала, ибо f(b) = f(a), и если f(a) - наименьшее значение, то наибольшее значение значение функция f(x) примет внутри интервала.

  Пусть например f(x₀) - наибольшее значение функции f(x) на интервале [а, b] и x₀ - внутренняя точка этого интервала. Тогда f(x₀) является максимумом функции: f(x₀) > f(x) для всех x из достаточно малой окрестности x₀ [за эту крестность можно впрочем, взять интервал (а, b)].   Так как, по условию, f(x) имеет в точке x₀ производную, то по теореме о необходимом признаке экстремума,

f ' (x₀) = 0,

и теорема Ролля доказана.

Теорема Ланганжа

Если функция непрерывна на отрезки [ав] и дифферениема во всех внутренних точках отрезка надеться хотя бы одна точка С такая что выполняет равенство

геометрический смысл состоит в том что внутри отрезка [АВ] надеться хотя бы одна точка С которая параллельна секущей АВ.

С ледствие 1. Если производная функции равна нулю в каждой точке некоторого промежутка, то функция есть тождественная постоянная в этом промежутке.

Следствие 2. Если две функции имеют равные производные в некотором промежутке, то они отличаются в этом промежутке лишь постоянным слагаемым.

Корнем (или нулем) функции у = f(x) называется такое значение х = х0 ее аргумента, при котором эта функция обращается в нуль. Геометрически корень функции означает абсциссу точки, в которой график функции пересекает ось их или касается ее.

Т 6 еорема Коши

-пусть функции не прерывны на отрезки [АВ] и дифференцируемы на интервале (a, b) причем ни где не принимает значение 0 тогда найджеться такая точка С A<C<B что величина равна

Рассмотрим вспомогательную функцию Функция F(х) непрерывна на [a, b], дифференцируема на (a, b), причем F(а) = F(b) = 0. Следовательно, по теореме Ролля на (a, b) существует точка , такая, что F'() = 0:

Следовательно: Теорема доказана.

Теорема Ферма. Пусть функция f (х) определена на интервале (а, b) и в некоторой точке х₀ (а, b) имеет локальный экстремум. Тогда, если в точке х₀ существует конечная производная f '(x₀), то f '(x₀) = 0.

В точке х₀ = 0 функция имеет минимум, но в этой точке производная не существует. Следовательно, теорема Ферма для данной функции неверна (не выполняется условие дифференцируемости функции в точке х₀).

Исследование функции

Е

8-12

сли функция f(x) имеющая производную на отрезке АВ возрастает то ее производная на отрезке [ab] не отрицательна то есть f'(x)>=0

2 Если функция f(x) не прерывна на отрезке [ab] и дифференциема на нем причем f'(x)>0 а<x<b то функция возрастает на отрезке [ab] аналогична для убывания.

если f(x) убывает. [ab] то ее производная f'(x)<=0 на отрезке [ab]

max-функция называется тогда если в некоторой окрестности этой точки для всех точек кроме выполняется не равенство

min-функция называется тогда если в некоторой окрестности этой точки для всех точек кроме выполняеться не равенство

max и min называют точками экстремума или экстремальными значениями

Теорема дифференцируемая функция имеет в точке max или min то ее производная в этой точке равна 0

точки экстремума нужно искать в тех точках которая равна 0 либо не существует.

Пример существует всюду в точке х=0 хотя производная =0 но эта точка не является экстремумом.

Теорема достаточная теорема.

пусть функция не прерывна в точке х=0 тогда если производная -то точка минимум

если -то точка максима

Наибольшее значение функции на отрезке пусть функция f(x) не прерывна на отрезке [ab]тогда на этом отрезке [ab] она принимает наибольшее и наименьшее значение

наибольшее и наименьшее значение на отрезке а и в функция принимает либо в одном из экстремумов либо в одном из его концах.

вогнутость и выпуклость

Пусть имеет производную (ab) если график кривой на промежутке [ab] расположен выше любой касательной проведя в точке этом промежутке то функция называется вогнутой на этом промежутке (выгнутой вниз)

Пусть имеет производную (ab) если график кривой на промежутке [ab] расположен ниже любой касательной то функция называется выпуклой на этом промежутке (выгнутой в веепх)

точка перегиба если 2 промежутка и то на одной функция вогнута на другой выпукла

Если >0 на промежутке (ab) то на этом промежутке функция вогнута

Если <0 на промежутке (ab) то на этом промежутке функция выгнута

Если =0 или не существует и точка вторая производная меняет знак то точка перегиба.

Прямая называется асимптотой если расстояние от кривой до этой прямой при увеличении в бесконечности стремиться к 0.

верти кальная асимптота то x=a это асимптота

наклонная асимптота

пусть функция имеет наклонную асимптоту