Свойство определенного интеграла

Условие существование определенного интеграла. Вычисление определенного интеграла.

О

22

пределение . Функция f(x), для которой на отрезке [a, b] существует определенный интеграл, называется интегрируемой на этом отрезке.

Естественно возникает вопрос: при каких условиях функция f(x), определенная на [a, b], интегрируема на этом отрезке? Не приводя доказательств, рассмотрим эти условия.

Теорема 1. Если функция f(x)непрерывна на отрезке [a, b], то она интегрируема на этом отрезке.

Сформулируем и более общую теорему об интегрируемости.

Теорема 2. Если функция f(x) ограничена на [a, b] и непрерывна на нем всюду, кроме конечного числа точек, то она интегрируема на этом отрезке.

Вычисление определеного интеграла формулой нютона-лейбненса a-зафиксируем b-будем изменять при этом значение интеграла измениться

Теорема 1 пусть f(x)-непрерывная функция тогда -первообразная для

Теорема 2 Если -первообразная от -непрерывная на отрезке [ab] то определенный интеграл на промежутке

Пример

Дифференцируемость функции. Достаточное условие дифференцируемости ФНП

Е

27

сли каждой паре (x,y) ставиться определенное значение z то мы говорим что z заданная функция 2 переменных z=f(x,y).

Совокупность пар (x,y) для которой определенное значение z называют область определения функции. область переменных удобно обозначать графический(геомтрический) если каждую пару будем изображать в виде точке М то область определения функции изобразиться в виде несколько точек. В частности областью определения может быть и вся плоскость xОy. линию которую ограничивает область определения называют границей области определения.

Точка область определения которые не лежат на границе называют внутренней. Если область состоит из внутренней точек то такая область называет отсеченной если значение отсеченной области определенное то ее называют закрытой или замкнутой. если найдется такая константа С что для любой точки М₀ из области определения расстояние от нее до начала координат меньше чем до С то такую область называют ограниченной в противном случае не ограниченной.

найти область определения функции 2 переменных и изобразить ее на плоскости -вся плоскость определения

-круг с радиусом 1 все что в нутри круга закрашивается -замкнутая и ограниченная

z=ln(x+y) открытая и неограниченная

определение Если каждой совокупности значений x,y,z...t ставиться в соответствие определенное число W то мы говорим задана функция несколько переменных x,y,z...t w=f(x,y,z...t ) область определения 3 переменных состоит из 3 (x,y,z) каждой такой точки можно поставить точку соответствия (x,y,z) в пространстве по этой облоастьи определения это некоторое множество в пространстве. для функции 4 и более переменных область определения геометрический изобразить невозможно.

Теорема (достаточное условие дифференцируемости функции). Если функция z = ƒ(х;у) имеет непрерывные частные производные z'_x и z'_y в точке М(х;у), то она дифференцируема в этой точке и ее полный дифференциал выражается формулой

Чтобы функция z=ƒ(х;у) была дифференцируема в точке, необходимо, чтобы она имела в ней частные производные, и достаточно, чтобы она имела в точке непрерывные частные производные.