- •Т 6 еорема Коши
- •Исследование функции
- •Комплексные числа
- •Свойство определенного интеграла
- •Условие существование определенного интеграла. Вычисление определенного интеграла.
- •Экстремумы функции нескольких переменных
- •Двойной и тройной интеграл их свойства и вычисления
- •Криволинейный интегралы. Формула Грина
Криволинейный интегралы. Формула Грина
П
34
Р азобьем кривую МN на n частей с помощью точек M0 M1 Mn обозначим через вектор велечину F в точке обозначим тогда скалярное произведение на можно рассмотреть как приближенное значение А если F вдоль дуги
Если существует придел выражение стоящего в правой части когда ->0 ( ->0 ->0) то этот придел выражает работу силы F при перемещении от М к N
этот придел называют криволинейным интеграл вдоль кривой L подобное ворожение часто встречается в математике при x и y расмотрении функции 2 переменных ограниченной в области D. буквы М и N стоят в место предела интегрированиявзяты в скобки в знак того что это не числа а обозночение криаой линии в доль которой ведеться интегрирование.
Направление в доль кривой от точки М к N называют непрерыным интервалом.
Если кривая L в пространстве то аналогичным оброзом задаеться криволинейный интеграл 3 функций Х(xyz) Y(xyz) Z(xyz)
Замечание
криволинейный интеграл зависит от 3 параметров кривой интегрирования функции и направления интегрирования. в частности при изменении направления интегрирования криволинейного интеграла меняется знак.
Разобьем кривую L точкой К то что дуга MN=MK+KN тогда
определение криволинейного интеграла остается в силе и в том случае когда кривая l является замкнутой в этом случае начало и конец точки совпадает для обозначения криволинейного интеграла по замкнутой линии используют обозначение
Вычисление криволинейного интеграла функции
Функция L рассмотрим правильный интеграл справедлива теорема о существовании криволинейного интеграла. Если функция являються интегрируемими и имеют непрерывные производные а также интервал функции как функцию от переменой t тода существует придел где -координаты некоторой точки на дуге эти приделы ни зависят от способа деления L на части дуги ни от выбора точек
Э
34
пример вычислим криволинейный интеграл М(3,2,1) N(0,0,0)
уравнение прямой MN составляем параметрическое
(смотри координаты M и N)
Формула Грина
Эта формула устанавливает связь между двойным интегралом по области D и криволинейным интегралом по ее границе L пусть данной кривой облостьи D ее проекция на облость OX это отрезок ab с верху с низу в месте кривые отрожают замкнутый контур пусть в облосте D задана непрерывные функции X(xy) Y(xy) и имеют непрерывные частные производные. вычислить двойной интеграл по области D
анологично и для y затем мы получаем формулу Грина