Вопрос 26. Общее уравнение прямой. Уравнение прямой в отрезках на осях.

1.Теорема:

В прямоугольной системе координат любой прямой задает уравнение 1-й степени

Ax+By+C=0

При любых А, В, С, где А, В не были нулями оба сразу, представляет прямую линию. Всякую прямую можно представить уравнением этого вида. Поэтому его называют общим уравнением прямой.

Док-во: Пусть В≠0, тогда ур-е можно записать в виде y = - x -

1.Если А≠0, С ≠0, получим y=kx+b

Если А≠0, С=0, y=kx-ур-е прямой, проходящей через начало координат.

Если А=0, С≠0, то y=b – прямая параллельна ОХ

Если А=0, С=0, то y=0 – ось OX

2.B=0, A≠0, тогда ур-е (7) примет x= -- ; ур-е прямой параллельной ОУ, а если С=0, то х=0 – ось ОУ.

Т.к. при любом значении А и В не равны одновременно 0, ур-е (7)-есть ур-е нек. прямой на плоскости ХОУ.

Линия определенная в прямоугольной системе координат ур-я 1-й степени- линия первого порядка.

2. Найдем уравнение прямой по заданным отрезкам а≠0, b≠0 от … на осях координат. Воспользуемся формулой прямой ч/з 2 заданные точки.

Подставим координаты точек в уравнение

или

Это ур-е наз-ся уравнением прямой в отрезках.

Вопрос 27. Нормально уравнение прямой. Расстояние от точки для прямой.

Пусть дана некоторая прямая L. Проведем ч/з начало координат прямую, перпендикулярную L и назовем ее нормалью. На нормали ведем направление от 0 к N, т.е. нормаль станет осью.

Обозначим ч/з α-угол на кот. нужно повернуть против часовой стрелки ось ОХ до совмещения положения напр. нормалями . p=ON. Выведем ур-е прямой L считая неизвест. число α и ρ:

Для этого возьмем на прямой L произвольную точку М с полярными координатами ρ и ϕ, где О-полюс, а ОХ-полярная ось.

Если точки O и N –не совпадают, то из тр-ка ONM находим

P= ρcos( α-ϕ)= ρ( cosαcosϕ+sinαsinϕ) или ρ*cosϕcosα+ ρ* sinϕsinα-P=0 (1)

Ур-е (1) есть ур-е прямой L в полярн. коорд……………………………………..

x=ρ*cosϕ , y=ρ*sinϕ

x*cosα+y*sinα-ρ=0 (2)

Если точки O и N cовпадают, то уравнение P=0 и уравнение принимает вид

x*cosα+y*sinα=0

Уравнение (2)- нормальное уравнение прямой L. Для того, чтобы привести общее уравнение прямой к нормальному виду ( 2) нужно все члены ур-я умножить на нормир. множитель μ.

Ax+By+C=0 (*)

μ =

Перепишем

μA=cosα, μB=sinα, μC= -p

Знак интегрирующего множителя берется противоположно знаку С. Если прямая L задана ур-м (2), а точка М₀(х₀;у₀)-не лежит на этой прямой, то расстояние от точки до прямой определяется как выражение

d=|x₀cosα+y₀sinα-p| (3)

Пусть даны М₀(х₀;у₀) и прямая L ур-м *

Под расстоянием от точки М₀до прямой L понимается длина перпендикуляра d=M₀N, опущенного из точки М₀ на прямую.

Для определения расстояния d необходимо:

1. Составить уравнение прямой M₀N, перпендикулярной L проходящей ч-з точку М_0.

2. Найти точку N (x;y)—пересечение прямых решив совместно ур-я M₀N и L/

3. Найти расстояние по формуле

Вопрос 28. Окружность

Изучение уравнении второго порядка, описываемы уравнениями второй степени. Начнем с окружности с центром O (x_o;y_o), радиусом R и точкой M(x₁;y₁).

По определению, для любой точки М окружности вып-ся равенство |OM|=R.Используя формулу расстояния между двумя точками получим:

√(x-x_o)²+(y-y_o)²=R или то же самое (x-x_o)²+(y-y_o)²=R² (5)-нормальное ур-е окружности.

В частности если центр окружности в начале координат, то ее ур-е x²+y²=R² .

Рассмотрим общее ур-е второй степени с 2 переменными:

Ax²+Bxy+Cy²+Dx+Ey+F=0 (6)

A²+B²+C²≠0? A,B,C-одновременно не 0.

Выясним, при каких условиях ур-е (6)- есть ур-е окружности. Для этого (5) раскроим скобки и запишем

x²+y²-2x_ox-2y_ox+x_o²+y_o²-R²=0 (7)

Для того, чтобы (6) и (7) описывают одну и ту же линию, необходимо , чтобы коэф-т В=0, т.к. ур-е (7) не содержит x,y, а……………………………..

=> A=C≠0

Получим : Ax²+Ay²+By+Ey+F=0 (8)

Уравнение (8) называется общим уравнением окружности.

Разделив обе части уравнения на А и заполнив члены содерж. х,у получим:

(x+ )² +(y+ )²= (𝒟²+ ² -4AF)/4 A² (9)

Cсравнив (9) с уравнением окружности (5) можно сделать вывод , что (6) –есть уравнение окружности , тогда B=0, A=C и 𝒟²+ ² -4AF >0.

При выполнении этих условий центр окружности расположен в точке O (

а R= √(𝒟²+ ² -4AF)/2A.