Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Нижегородский государственный педагогический университет им. К. Минина

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Клокова Максимова.docx

Скачиваний:

Добавлен:

24.12.2018

Размер:

839.77 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 44

Ход урока

Ι. Мотивационно-ориентировочный этап (5 минут).

1. Актуализация.

- Итак, ребята, на прошлых уроках вами было изучено много теории по теме «Площадь параллелограмма, треугольника, трапеции» и вы решали несложные задачи. Давайте повторим основные теоремы этой темы.

Устно (задания подготовлены заранее на доске или в презентации).

№ 1. Установите вид фигуры и вычислите её площадь.

Ответы:

трапеция, 30;
треугольник прямоугольный, 20;
параллелограмм, 40;
треугольник, 18;

№ 2. Найдите по рисунку отношение площади треугольника KBL к площади треугольника ABC.

Ответ: 1:4(на теорему об отношении площадей треугольников с парой равных углов)

№ 3. Вычислите по рисунку отношение площади треугольника BCM к площади треугольника BPO.

Ответ: 1:2(на 2 следствие из теоремы о площади треугольника)

2. Мотивация.

На предыдущих уроках вами было изучено много теории, на основе которой вы учились решать несложные задачи. Но в учебники присутствует много более сложных задач на изученную теорию.

3. Учебная задача урока.

Учебная задача: рассмотреть решение более сложных, основных задач на применение изученной теории.

Тема урока: решение задач на формулы площади параллелограмма, треугольника, трапеции.

ΙΙ. Содержательный этап (35 минут)

Все читают каждую задачу просебя (0,5 мин), после чего один из учеников читает задачу вслух. Учитель записывает под диктовку другого ученика, что дано в задаче и что требуется найти. Затем учитель на доске (или в презентации), а ученики в тетрадях делают чертеж к задаче.

Задача № 469.

Стороны AB и CD треугольника ABC равны соответственно 16 см и 22 см, а высота, проведенная к стороне AB, равна 11 см. Найдите высоту, проведенную к стороне BC.

Дано:

ABC –треугольник

AB=16 см

BC=22 см

CH₁ – высота ABC

CH₁ =11 см

AH₂ – высота ABC

Найти: высоту AH₂

Поиск решения (система вопросов).

- В записи какой формулы участвует высота треугольника?

(формулы площади треугольника)

- Продиктуйте эту формулу, если в качестве основания выбрана сторона ВС.

(; учитель записывает её на доске)

- Что нам известно в этой формуле?

(только CB)

- Значит, теперь задача свелась к нахождению площади треугольника. Как мы это можем сделать?

(выразить её через другие высоту и основание; учитель записывает и эту формулу на доске)

- Итак, мы выразили площадь одного и того же треугольника двумя способами. Что теперь необходимо сделать, чтобы найти искомую величину?

(приравнять эти два равенства и выразить искомую высоту)

Затем ученик решает задачу у доски по действиям, но числовые данные подставляет только в итоговую формулу (об этом просит сам учитель).

Решение.

Ответ: S=8 см

Анализ решения.

- Что было дано в задаче?

(треугольник, две стороны и высота)

- Что требовалось найти?

(другую высоту)

- Как мы это сделали?

(записали площадь треугольника двумя способами и выразили искомую высоту)

- Итак, эту задачу мы с вами решили одним из приемов «метода площадей». Почему вы сначала не объясните учащимся, что такое метод площадей? Приём заключается в следующем: выразить площади одного и того же многоугольника двумя различными способами с последующим выражением искомой величины из составленного равенства. Теперь нужно поговорить о том, почему этот приём сработал в треугольнике, как аналогичные задачи можно решать в параллелограмме. Запишем общий текст таких задач и план их решения.

Формулировка задачи и план её решения.

В треугольнике или параллелограмме известны две стороны и высота (две высоты и сторона), требуется найти другую высоту (сторону).

План.

Выразить площадь треугольника (параллелограмма) с искомой величиной.
Выразить площадь треугольника (параллелограмма), используя известные величины.
Приравнять эти площади и выразить искомую величину.

H₁

H₂

H₁

H₂

Задача № 478.

В выпуклом четырехугольнике диагонали взаимно перпендикулярны. Докажите, что площадь четырехугольника равна половине произведения его диагоналей.

Дано:

ABCD – произвольный выпуклый четырехугольник

AC, BD – диагонали ABCD

BD⊥AC

Доказать:

Поиск решения (система вопросов).

- На какие фигуры «разбивают» диагонали DB и AC четырехугольник ABCD?

(на треугольники)

- Какие, например?

(BCA, ACD; BDC, DBA; BOC,COD,AOD,BOA, где O – точка пересечения диагоналей)

- Выберете один из предложенных вам вариантов.

(например, BCA, ACD)

- Каким свойством обладает площадь многоугольника?

(если многоугольник составлен из нескольких многоугольников, то его площадь равна сумме площадей этих многоугольников)

- Назовите мне формулу вычисления площади треугольника.

(площадь треугольника равна половине произведения его основания на высоту, проведенную к этому основанию)

- Как можно преобразовать данное выражение? Так где же выражение?

(привести подобные)

- Чему равно BO+OD?

(BD)

- Чем являются AC и BD в ромбе ABCD?

(диагоналями)

Затем учитель или ученик решает задачу у доски по действиям, но числовые данные подставляет только в итоговую формулу (об этом просит сам учитель).

Решение.

1. ABCD – выпуклый четырехугольник «разбивается» диагоналями AC и BD, например, на два треугольника BCA и ACD.

2. По свойству площади многоугольника: (*)

3. BD⊥AC (по условию задачи).

Рассмотрим BCA. В нем BO⊥AC, где AC – основание BCA. По формуле для нахождения площади треугольника имеем:

(1)

4. Аналогично рассуждая для ACD, получаем:

(2)

5. Подставим в (*) выражения (1) и (2):

Что и требовалось доказать.

Анализ решения.

- Что было дано в задаче?

(произвольный выпуклый четырехугольник и его взаимно перпендикулярные диагонали)

- Что требовалось сделать (доказать) в задаче?

(доказать, что площадь произвольного выпуклого четырехугольника равна половине произведения его диагоналей)

- Как мы это сделали?

(разбили четырехугольник на два треугольника и его вычислили площадь как сумму площадей этих треугольников)

- Какая ранее изученная вами теория была нами использована?

(формула площади треугольника, второе основное свойство площади)

- Итак, эту задачу мы с вами решили методом, который называется «методом разбиения». Запишем схему решения задач методом разбиения.

Схема метода «разбиения» – в следующем:

Разбить многоугольник на треугольники любым способом.
Записать (найти) площадь каждого из получившихся треугольников.
Выразить (вычислить) искомую площадь данного многоугольника как сумму найденных площадей треугольников.

Задача № 474.

Сравните площади двух треугольников, на которые разделяется данный треугольник его медианой.

Дано:

BM – медиана

Сравнить:

Проводится высота BH

Поиск решения (система вопросов).

- Что значит – сравнить площади? (Как можно сравнить площади?)

(Найти их отношение)

- Какие теоремы вам известны об отношении площадей треугольников?

(Если угол одного треугольника равен углу другого треугольника, то площади этих треугольников относятся как произведения сторон, заключающих равные углы; Если высоты двух треугольников равны, то их площади относятся как основания)

- Итак, необходимо, чтобы были либо два равных угла, либо две равных высоты. Выясните, есть ли в данных треугольниках равные углы.

(Их нет)

- Что из этого следует?

(мы не можем воспользоваться теоремой об отношении площадей треугольников, имеющих по равному углу)

- Значит, будем решать с помощью следствия к теореме о площади треугольника. Для этого необходимо, чтобы в одном из двух треугольников была высота, равная высоте в другом треугольнике. Проведите в высоту так, чтобы она была равна высоте в .

(Провели BH)

- Давайте посмотрим на основания AM и MC, к которым вы провели высоту BH. Что о них известно?

(они равны)

- Почему?

(потому что медиана BM делит сторону AC пополам)

- Теперь мы можем составить отношение площадей.

- Отношение равно 1. Что из этого следует?

(площади равны)

Решение:

BH – высота (*)
AM=MC (**), т.к. BM – медиана.
По теореме об отношение площадей треугольников, имеющих равные высоты, и с учетом (*) и (**) имеем:

Значит, =

Ответ: =

Анализ решения:

- Что было дано в задаче?

(треугольник и медиана, проведенная к основанию)

- Что необходимо было выполнить в задаче?

(Сравнить площади двух треугольников, на которые разделяется данный треугольник его медианой)

- Как мы это сделали?

(Провели общую высоту и воспользовались теоремой об отношение площадей треугольников, имеющих равные высоты)

Так формулируйте второй приём метода площадей!

Задача № 461 (если на уроке хватит времени, то можно решить эту задачу. В противном случае разобрать с учащимися только анализ решения, а дома они оформят решение).

Смежные стороны параллелограмма равны 12 дм и 14 дм, а его острый угол равен 30º. Найдите площадь параллелограмма.

- Ребята, назовите, что нам дано в задаче и что нам требуется найти?

(Параллелограмм, две смежные стороны и острый угол, равный 30°, а необходимо найти площадь параллелограмма).

На доске появляется следующая запись

Дано:

ABCD-параллелограмм

AB=12 дм

AD=14 дм

А=30°

Найти: S_ABCD

Поиск решения (система вопросов).

- Что требуется найти в задаче?

(Площадь параллелограмма ABCD)

-Как вычисляется площадь параллелограмма?

(Площадь параллелограмма равна произведению основанию на высоту к нему)

Учитель на доске: S_ABCD=

-Можем ли мы сейчас найти площадь параллелограмма?

(Нет)

-Почему?

(Мы не знаем, чему равна высота параллелограмма)

-Давайте проведем высоту BH. Откуда мы можем найти высоту BH?

(Из Δ ABH)

Замечание. Если класс слабый, то учитель сам предлагает рассмотреть Δ ABH.

-Каким является треугольник ABH?

(Прямоугольным)

- Что нам известно в Δ ABH?

(Гипотенуза AB и угол 30°)

- Давайте вспомним св-во прямоугольного треугольника с углом в 30°.

(В прямоугольном треугольнике против угла в 30° лежит катет, равный половине гипотенузы).

Решение:

S_ABCD= =ADBH;
Δ ABH- прямоугольный, где гипотенуза AB=12 см, L BAH=30°;

В прямоугольном треугольнике против угла в 30° лежит катет, равный половине гипотенузы.

Значит, BH = AB

BH= 12 = 6 (см);

h= BH = 6 (см);

S_ABCD = AD BH = 146 = 84 ( )

Ответ: 84

Анализ решения:

- Что было дано в задаче?

(Параллелограмм, его смежные стороны, острый угол 30°)

- Что надо было найти?

( Площадь параллелограмма)

- Как мы ее нашли?

(Провели высоту и использовали свойство прямоугольного треугольника с углом 30°)

План решения аналогичных задач:

Находим из прямоугольного треугольника с углом в 30° неизвестную величину (По свойству прямоугольного треугольника: против угла в 30° лежит катет равный половине гипотенузы).
Используя найденный элемент, вычисляем искомую площадь многоугольника.

ΙΙΙ. Рефлексивно-оценочный этап (5минут).

- Какова была цель урока?

(научиться решать задачи на применение формул площадей фигур) у вас не такая цель урока

- Достигли мы её?

(да)

- Как мы её достигли?

(решали ключевые зачади по теме «площадь параллелограмма, треугольника, трапеции». Записали схемы решения каждой из этих задач) нужно обсуждать, какие типы задач и как решали

Домашнее задание.

Номера заданий из учебника: №470 (аналогичны № 469), № 476 (сказать, что эта задача является следствием № 478), № 475 (аналогично № 474)

Задача на дополнительную оценку! (предполагается, что ученики уже выполняли подобные задания)

По рисунку составьте задачу, дополнив условия, и решите её.

Решение домашнего задания.

Задача №470. Лучше дать задачу на параллелограмм, на треугольник вы совсем такую же решали в классе

Две стороны треугольника равны 7,5 см и 3,2 см. Высота, проведенная к большей стороне, равна 2,4 см. Найдите высоту, проведенную к меньшей из данных сторон.

Дано:

Δ ABC;

AC=7,5 (см);

BC=3,2 (см);

BH₁=2,4 (см);

Найти: AH₂

Решение:

S ΔABC=;

S ΔABC= ;

Ответ:

Задача №475

Начертите треугольник ABC. Через вершину А проведите две прямые так, чтобы они разделили этот треугольник на три треугольника, имеющих равные площади.

Дано:

Δ ABC

Разделить Δ ABC на три треугольника, имеющих одинаковые площади.

Решение:

Для того чтобы разбить Δ ABC на три треугольника, имеющие одинаковые площади, необходимо разделить сторону BC на три равные части. где же рассуждения о применение 2 приёма метода площадей?

Докажем, что Δ ABМ₁, Δ AМ₁М₂, Δ AМ₂С имеют равные площади. Данные треугольники имеют общую высоту AH₁. Тогда по следствию 2 к теореме о площади треугольника имеем:

т.к. по построению . (1)

А так как отношение площадей равно 1, то значит, все треугольники равны между собой.

Задача № 476.

Докажите, что площадь ромба равна половине произведения его диагоналей. Вычислите площадь ромба, если его диагонали равны: а) 3,2 дм и 14 см; б) 4,6 дм и 2 дм.

Дано:

ABCD – ромб

AC, BD – диагонали ромба ABCD

а) BD=3,2 дм, AC=14 см

б) BD=4,6 дм, AC=2 дм

Доказать:

Вычислить: S_ABCD

Решение. Да не нужно всё доказывать заново, вы уже доказали задачу-теорему о площади выпуклого четырёхугольника со взаимноперпендикулярными диагоналями

1. Ромб ABCD разбивается диагоналями AC и BD, например, на два треугольника BCA и ACD.

2. По свойству площади многоугольника: (*)

3. BD и AC перпендикулярны, следовательно, BO является высотой в треугольнике ABC, DO – высотой в треугольнике ACD. По формуле для нахождения площади треугольника: