2.2. Физическая природа электропроводности металлов

В основе классической электронной теории металлов, развитой Друде и Лоренцом, лежит представление об электронном газе, состоящем из свободных (коллективизированных) электронов. Электронному газу приписываются свойства идеального газа, т.е. движение электронов подчиняется законам классической статистики. Если считать, что атомы в металле ионизированы однократно, то концентрация свободных электронов будет равна концентрации атомов и может быть рассчитана по формуле

где d – плотность материала; A – атомная масса; N_A – число Авогадро.

Плотность тока в проводнике определяется выражением

J  env ,

где v – средняя скорость направленного движения носителей заряда.

В медном проводнике плотности тока 10⁶ А/м² соответствует скорость дрейфа электронов порядка 10^–4 м/с. Средняя скорость теплового движения u при температуре 300 К составляет порядка 10⁵ м/с. Таким образом, можно считать, что в

реальных условиях выполняется неравенство v  u .

_Основным недостатком классической теории является не только представление о существовании свободных электронов, но, главное, применение к ним законов классической статистики Максвелла – Больцмана, согласно которой распределение электронов по энергетическим состояниям описывается экспоненциальной функцией

При этом в каждом энергетическом состоянии может находиться любое число электронов, что противоречит принципу

Паули, согласно которому в каждом состоянии могут находиться только два электрона с разными спинами.

В квантовой теории вероятность заполнения энергетических состояний электронами определяется функцией Ферми:

где Э – энергия уровня, вероятность заполнения которого определяется; Э_F – энергия характеристического уровня,

^{относительно которого кривая вероятности симметрична (энергия Ферми). При Т = 0 К F(Э) = 1, если Э ≤ Э}_F^.

^{Таким образом, величина Э}_F ^{определяет максимальное значение энергии, которую может иметь электрон в металле при температуре абсолютного нуля. Соответствующий ей потенциал φ}_F ^{= Э}_F ^{/e называют электрохимическим потенциалом.}

Распределение электронов по энергиям определяется вероятностью заполнения уровней и плотностью квантовых состояний в зоне:

dnЭ  2N ЭF ЭdЭ ,

где dn – число электронов, приходящихся на энергетический интервал от Э до Э + dЭ; N(Э) – плотность разрешённых состояний в зоне.

Рис. 2.1. Распределение электронов по энергиям в металле:

1 – Т = 0 К; 2 – Т ≠ 0 К

Общая концентрация электронов в металле находится путём интегрирования по всем заполненным состояниям (рис. 2.1):

Системы микрочастиц, поведение которых описывается статистикой Ферми – Дирака, называют вырожденными.