16. Ортогональность собственных векторов, соответствующих различным собственным значениям самосопряженного линейного преобразования.

Иначе говоря, если f – симметрическое линейное преобразование и

F(₁) = λ₁₁ (₁ ≠ 0),

F(₂) = λ₂₂ (₂ ≠ 0),

Причем λ₁≠λ₂, то (₁, ₂) = 0.

Для доказательства воспользуемся равенством (F(₁), ₂) = (₁, F(₂)), справедливым в силу симметричности f. Из этого равенства следует: λ₁(₁, ₂) = λ₂(₁, ₂), и так как λ₁≠λ₂, то (₁, ₂) = 0.

18. Вывод уравнения прямой на плоскости, проходящей через данную точку перпендикулярно данному вектору.

М₀ (х₀;у₀).

Возьмем произвольную точку М (х;у).

Т.к. , то

Нормальное уравнение прямой.

Уравнение прямой можно записать в виде:

Т.к. ;, то: