11. Линейная независимость векторов, составляющих ортонормированную систему

Система векторов e₁, e₂, …, e_n евклидова пространства называется ортонормированной, если векторы системы попарно ортогональны и имеют единичную длину. Пример: a₁=(0,1), a₂=(1,0)

В ортонормиров. сист. векторы ортогональны по определению. Докажем, что они ЛНЗ. Предположим противное, тогда , где не все «лямбда» равны 0. Пусть Умножим рав-во по правилу скалярного произв-ия на а₁. Т.к. векторы взаимно ортогональны, т.е. (a_i,a_j)=0 и т.к. (0,а₁)=0, мы получим: , то (a₁,a₁)=0, и, следовательно, a₁=0, что противоречит условию (векторы ненулевые).

Итак, 3 вектора пространства ЛНЗ, следовательно, они являются базисом.

12. Формула для вычисления координат вектора в ортогональном базисе.

Если  и  взаимно перпендикулярны и их модули равны единице, то базис называется ортонормированным, и мы получим известную нам прямоугольную декартову систему координат на плоскости.

Итак, пусть  – произвольный базис,  и  – любые два вектора. Рассмотрим скалярное произведение этих векторов и преобразуем его, используя ранее доказанные свойства:

Таким образом, для вычисления скалярного произведения двух векторов в произвольном базисе, кроме их координат, надо знать модули базисных векторов и угол между ними. Очевидно, что если базис ортонормирован, то   и мы получим известную формулу для скалярного произведения в ортогональной декартовой системе координат.

13. Невырожденность ортогональной матрицы

Матрица А порядка n*n называется невырожденной, если ее строки линейно независимы, в противном случае – вырожденная.

Теорема: квадратная матрица А невырождена тогда и только тогда, когда ее определитель |А| не равен нулю.

Квадратная матрица A называется ортогональной, если соответствующая ей система векторов столбцов является ортонормированной.

(a_i,a_j)=∑_k=1ⁿa_kia_kj= δ_ij

Пусть A - ортогональная матрица.

A^T=A^-1 –необходимое и достаточное условие ортогональности матрицы A.

A^TA=E (по определению), A^-1A=E.

А т.к. обратная матрица существует, если А невырожденная, то ортогональная матрица является невырожденной.

14. Изменение матрицы линейного преобразования при замене базиса.

Пусть A - линейное преобразование пространства L, Aи A’ - матрицы этого преобразования в старом и новом базисе соответственно. Тогда

Доказательство.     Пусть x -- произвольный вектор пространства L, y - его образ, то есть y = A(x). Пусть и  -- координатные столбцы векторов x и y в старом базисе, а ,  -- в новом. Тогда в силу формулы . Имеем , . Подставим эти выражения в предыдущую формулу, получаем . Откуда . С другой стороны, в силу формулы  в новом базисе . Сравнивая это равенство с предыдущим, получаем .     

15. Равенство характеристических многочленов подобных матриц.

Определение: м. В называется подобной м. С, если существует такая невырожденная м. Т, что выполняется равенство В=Т^-1СТ.

Характеристические многочлены подобных мат­риц равны друг другу.

В самом деле, пусть матрица Л подобна матрице В

А = Х^-1ВХ.

Тогда для характеристического многочлена Л получаем

Х^-1ВХ = | Х^-1(λE-B)X| = | Х^-1| * | λE-B| * |X|

Определители | Х^-1|, |X| взаимно обратны и в произведении дают 1, поэтому:

| λE-А| = | λE-B|

что и требовалось доказать.

Из этой теоремы вытекает, в частности, что подобные матрицы

имеют одинаковые следы и определители, так как след и опреде­литель матрицы, взятые с надлежащими знаками, являются коэффициентами ее характеристического многочлена.