4.6.2 Построение линейной операционной модели для решения задач оперативного планирования производства

В качестве объекта, для которого будет строиться операционная линейная математическая модель, рассмотрим объект (производство), для которого известно следующее:

1. на нем перерабатывается различные виды сырья i-го вида S_i, (i=1,…m).

2. в результате переработки изготавливаются различные виды продукции j-го вида- P_j, (j=1,…n).

3. запасы каждого вида сырья S_i ограничены и равны b_i.

4. на производство единицы продукции j-го вида (P_j) расходуется a_ij единиц сырья S_i.

5. при реализации единицы продукции j-го вида (P_j) получается прибыль C_j.

Необходимо так спланировать работу данного производства на заданный отрезок времени (месяц, неделю), чтобы при заданных ограничениях по сырью была получена максимальная прибыль для данного производства.

Отразим всё вышесказанное об объекте в виде таблицы:

Si	bi	Количество единиц сырья i-го вида, расходуемого на производство единицы продукции j-го вида.
		P1	…	Pj	…	Pn
S1	b1	a11	…	a1j	…	a1n
…	…	…	…	…	…	…
Si	bi	ai1	…	aij	…	ain
…	…	…	…	…	…	…
Sm	bm	am1	…	amj	…	amn
Прибыль от реализации единиц продукции Pj		C1	…	Cj	…	Cn

Введем обозначения:

Х₁,…,Х_j,…,X_n , где

X_j – количество единиц продукции P_j, запланированное для производства на данном объекте, на заданный период (смену, сутки, месяц и т.д.).

В таком случае, можно сформировать выражение для оценки прибыли производства W за выбранный период, получаемый от реализации готовой продукции:

(1)

W — общая прибыль.

А так же, кроме того можно выразить аналитически расходы сырья и ограничения на величины Х₁,…,Х_j,…,Х_n, обусловленные заданными ограниченными объемами сырья:

(2)

В системе ограничений (2) — количество сырья 1-го вида, расходуемое на производство продукции 1-го вида по плану и т.д.

Кроме того, нужно записать ограничения в виде (3) - условие не отрицательности количества вырабатываемой продукции.

Поскольку соотношения (1), (2), (3) являются линейными относительно искомых переменных X₁,…,X_n, то это пример линейной операционной математической модели. А постановка задачи поиска оптимального плана в математическом виде формируется следующим образом: необходимо найти такие неотрицательные значения X₁,…,X_n, которые удовлетворяют системе ограничений (2) и обеспечивают максимум линейной функции W в соотношении (1).

Для того чтобы можно было применить уже разработанные ранее методы поиска оптимального решения, исходную постановку данной задачи (которая называется задачей линейного программирования) приводят к так называемой канонической форме, при которой:

1. Критерий эффективности должен быть устремлен к минимуму→ min.

2. Система ограничений (2) должна содержать только равенства!!!

Если исходная ЗПЛ не в канонической форме, то для перехода к канонической форме постановки задачи используются следующие приёмы:

Вводится новый КЭW такого вида

1. W′= –W=→ min.

Введение такой функции W′ обосновано, т.к. доказано что функция W′ достигает минимального значения при таких значениях X₁,…,X_n, при которых функция W′ достигает максимального значения.

2. Если в систему ограничений (2) входят соотношения типа «неравенство» причем число их-k, то переход к канонической форме осуществляется путем введения дополнительных переменных X_n+1,…,X_n+k, причем, эти переменные вводятся по одной для каждого неравенства и со знаком «+», если неравенство типа ; и со знаком «–» если .

k – общее число ограничений типа неравенств в системе ограничений (2).

Постановка задачи линейного программирования в канонической форме.

Необходимо найти такие неотрицательные значения X₁,… X_j…X_n,…X_n+k, которые удовлетворяют системе равенств (2) и обеспечивают минимум целевой функции W′.

Пример:

Исходная постановка задачи:

1.

2.

3. .

Приведем к канонической форме:

1.

2.

3..