66. Покажите, что собственные векторы, отвечающие различным собственным значениям симметрической матрицы, ортогональны.

Пусть матрица A - симметричная матрица (A = AT), имеющая собственные значения λ1, ..., λn. И пусть v1, ..., vn - собственные вектора, отвечающие указанным собственным значениям: Avi = λivi, ∀i = 1..n. Рассмотрим скалярное произведение ∀i, j:

λj(vi, vj) = (vi, λjvj) = (vi, Avj) = (AT vi, vj) = (Avi, vj) = (λivi, vj) = λi(vi, vj)

Мы получили λj(vi, vj) = λi(vi, vj), значит:

(λj − λi) · (vi, vj) = 0

Так как λj = λi, получаем исходное утверждение: (vi, vj) = 0, ∀i, j = 1..n, i = j, что подтверждает ортогональность собственных векторов.

67. Сформулируйте теорему о приведении квадратичной формы к главным осям.

Канонический вид квадратичной формы в ортонормированном базисе называют каноническим видом в главных осях.

Теорема: Ортонормированный базис пространства Rn, состоящий из собственных векторов симметрической матрицы , является каноническим базисом квадратичной формы

F = xTAx.

68. Приведите форму к нормальному виду методом Лагранжа.

где ; ;

69. Сформулируйте закон инерции квадратичных форм. Можно ли квадратичную форму с помощью невырожденного линейного преобразования переменных привести к виду ? Ответ обоснуйте.

Закон инерции квадратичных форм: Число слагаемых с положительными (отрицательными) коэффициентами в каноническом виде квадратичной формы не зависит от способа приведения квадратичной формы к аноническому виду.

Приведем кв. ф. f(x1, x2, x3) к канон. виду:

f = 2x1x2 + 4x2x3 = (x21+ x22+ 4x23+ 2x1x2 + 4x2x3 + 4x1x3) − (x21+ 4x1x3 + 4x23) − x22= (x1 + x2 + 2x3)2 − (x1 + x3)2 − x22

В каноническом виде мы получили 2 ’-’ (c отрицательным знаком) и 1 - ’+’ (с положительным знаком). По закону инерции кв. ф. нельзя привести кв. ф. f(x1, x2, x3) к каноническому вид y21 − 2y22 + y23 с 2мя положительными слагаемыми и одним отрицательным слагаемым.

71. Сформулируйте и проиллюстрируйте на примере критерий Сильвестра положительной определенности квадратичной формы от трех переменных.

Теорема

Квадратичная форма Ф тогда и только тогда является положительно определенной, когда все угловые миноры ее матрицы строго положительны.

Доказательство

Положительность миноров будем доказывать индукцией по n.

При n=1 единственным угловым минором формы является ; положительная определенность формы Ф равнозначна положительности .

Допустим теперь, что утверждение теоремы справедливо для квадратичных форм от n – 1 переменных, и в этом предположении докажем его для квадратичной формы от n переменных.

Так, пусть дана квадратичная форма

Представим ее в виде

где есть квадратичная форма от переменных При будем иметь поэтому из положительной определенности формы Ф следует положительная определенность Угловые миноры формы совпадают с угловыми минорами формы Ф, поэтому из предположения индукции следует [1]

Положительность минора вытекает из простого рассуждения. Мы знаем, что при замене координат матрица А квадратичной формы преобразуется в матрицу , где P – матрица перехода от новых координат к старым. Применяя теорему об определителе произведения матриц, получим , т.е. и имеют один и тот же знак. Но для формы к которой Ф приводится преобразованием координат, минор , равный произведению , больше нуля; значит, он положителен и для исходного вида формы Ф. Добавляя сюда уже доказанные ранее неравенства [1], получаем требуемое. Теорема доказана.

Из данной теоремы, принимая во внимание F = - Ф, нетрудно получить

Следствие

Для того чтобы квадратичная форма была отрицательно определенной, необходимо и достаточно, чтобы знаки угловых миноров чередовались, причем

Пример

Матрицей квадратичной формы является матрица

Для нее .

Поэтому данная квадратичная форма – положительно определенная.