4. Дайте определение базиса линейного пространства. Докажите, что координаты вектора в данном базисе определены однозначно.

Система векторов а₁, а₂, …, а_n называется базисом линейного пространства V, если выполнены следующие условия: 1) эти векторы линейно независимы; 2) любой вектор а из V является линейной комбинацией векторов данной системы, т. е. а = k₁ а₁ + k₂ а₂ + … + k_n а_n

Предложение: координаты вектора в данном базисе определены однозначно. Док-во: пусть существует два разложения данного вектора а по базису а₁, а₂, …, а_n а = k₁ а₁ + k₂ а₂ + … + k_n а_n а = l₁ а₁ + l₂ а₂ + … + l_n а_n

Так как левые части равны, то правые также равны: k₁ а₁ + k₂ а₂ + … + k_n а_n = l₁ а₁ + l₂ а₂ + … + l_n а_n (k₁ - l₁) а₁ + (k₂ - l₂) а₂ + …+ (k_n - l_n) а_n = 0

Так как векторы базиса линейно независимы, то k₁ - l₁ = 0 → k₁ = l₁

ч. т. д.

5. Что называется размерностью линейного пространства ? Может ли система из векторов, где , являться базисом - мерного пространства ? Ответ обоснуйте.

Размерностью пространства V называется число векторов его базиса. Размерность пространства V обозначается через dimV. Линейное пространство, имеющее размерность n, называют n-мерным.

В n-мерном пространстве V любая система из s векторов, где s>n, линейно зависима. А из определения базиса линейного пространства следует, что система векторов должна быть линейно независима. Следовательно, система из s векторов, где s>n, не может являться базисом n-мерного пространства V.

6. Пусть - векторы из . Можно ли составить базис пространства из линейных комбинаций этих векторов? Ответ обоснуйте.

Нет, нельзя. Так как размерность Rn+1 равна n + 1, то любой базис пространства Rn+1 должен содержать n + 1 линейно независимых векторов. Пусть a1, ...an - линейно независимы и входят в некоторый базис {a1, ...an, an+1} пространства. Но тогда вектор an+1 нельзя получить с помощью линейной комбинации векторов a1, ...an, так как в этом случае система векторов a1, ...an, an+1 будет линейно зависимой, что противоречит определению базиса.

7. Дайте определение подпространства линейного пространства и приведите пример. Как связаны размерности пространства и его подпространства? Ответ обоснуйте.

Подпространством линейного пространства R над полем K называется любое непустое подмножество M этого пространства, на котором корректны операции сложения элементов и умножения элемента на число, которые введены в исходном линейном пространстве R.

Примеры подпространств:

1. ) Прямая (подпространство) на плоскости (пространство)

2. ) Плоскость (подпространство) в пространстве R³ (пространство)

3. ) Все матрицы вида ab, a = -d, подпространство пространства всех c-a матриц 2х2

Одно из свойств подпространств говорит о том, что размерность подпространства не превосходит размерности самого пространства (так как подпространство является подмножеством пространства).

Теор. Подпр-во является линейным пр-вом

1. Для любых двух векторов а, в, из S их сумма также принадлежит лин пространству

2. Произведение а на действительное число тоже принадлежит данному пространству

Размерность родпростарнства S (неравно 0) меньше пр-ва V. Если бы их размерность была равна, то базис подпространства S являлся бы базисом V, Следовательно S и V совпали бы.