77. Докажите формулу интегрирования по частям для неопределенного интеграла.

Теорема: пусть U(x) и V(x) – две дифференцируемые функции на промежутке X. Тогда на этом промежутке выполняется формула интегрирования по частям: ∫udv=uv-∫vdu

Доказательство. Имеем формулу дифференциала произведения функций uv:

d(uv)=udv+vdu

Интегрируя обе части равенства, получим:

uv=∫udv+∫vdu

Откуда ∫udv=uv-∫vdu.

78. Докажите формулу замены переменной для неопределенного интеграла.

Теорема:.пусть функция x=φ(t) определена и дифференцируема на промежутке T и X – множество ее значений, на котором определена функция f(x). Тогда если F(x) – первообразная для f(x) на X, то F(φ(t)) – первообразная для f(φ(t)φ’(t)) на T, т.е. на множестве T выполняется равенство:

Доказательство: По правилу дифференцирования сложной функции производная левой части равенства равна F’_t(φ(t))=F_x’(φ(t)) φ’(t)=f(φ(t))φ’(t), что совпадает с подынтегральной функцией в правой части равенства.

79. Дайте определение функции f (x), интегрируемой на отрезке [a,b].Докажите, исходя из определения, что постоянная функция f (x) = 9 интегрируема на любом отрезке.

Функция y=f(x), ограниченная на отрезке [a;b], называется интегрируемой на этом отрезке, если существует единственное число I, разделяющее множества нижних и верхних сумм Дарбу для всевозможных разбиений отрезка [a;b]. Если функция y=f(x) интегрируема на отрезке [a;b], то единственное число, разделяющее эти два множества, называют определенным интегралом функции y=f(x) по отрезку [a;b] и обозначают следующим образом: I=_a∫^bf(x)dx

Это функция Дирихле.

Доказательство:

Каково бы ни было разбиение T, в любом отрезке разбиения [x_k,x_k+1] обязательно содержатся как рациональные, так и иррациональные точки, поэтому для любого отрезка Δx_k: m_k=0 и M_k=1.

Тогда все нижние суммы Дарбу m_k*Δx_k=0*Δx_k=0, а верхние суммы Дарбу M_k* Δx_k=1* Δx_k=1 – длина отрезка [0,1].

Т.о. множество нижних сумм состоит из одного члена X={0} и множество верхних сумм состоит из одного члена Y={1}, так что любое число из отрезка [0,1] разделяет множество X и Y. Значит, функция Дирихле не является интегрируемой на отрезке [0,1].

81. Докажите, что если функция f (x) непрерывна на отрезке [a,b], то функция = .xaF(x) f (t) dt, x .[a,b], является ее первообразной на этом отрезке.

если функция y=f(x) непрерывна на отрезке [a;b], то функция F(x) =_a∫^xf(t)dt дифференцируема в любой внутренней точке этого отрезка, причем F’(x)=f(x).

Доказательство:

F’(x)=lim_∆x→0 (F(x+∆x)-F(x))/∆x

Для xє(a;b) выберем ∆x столь малым, чтобы точка x+∆x лежала внутри [a;b], тогда

F(x+∆x)=_a∫ ^x+∆xf(t)dt

F(x+∆x)-F(x)= _a∫ ^x+∆xf(t)dt - _a∫^xf(t)dt= _x∫ ^x+∆xf(t)dt + _a∫^xf(t)dt - _a∫^xf(t)dt= _x∫ ^x+∆xf(t)dt

Применим теорему о среднем

F(x+∆x)-F(x)= _x∫ ^x+∆xf(t)dt=f(c)*∆x x<c<x+∆x

(F(x+∆x)-F(x))/∆x=(f(c)*∆x)/∆x=f(c)

Так как функция f(x) непрерывна и c→x при ∆x→0, то lim_∆x→0f(c)=f(x)

F’(x)= lim_∆x→0(F(x+∆x)-F(x))/∆x= lim_∆x→0f(c)=f(x)

Значит f(x) непрерывна на [a;b] и F(x)=_a∫^xf(t)dt

82. Используя свойство интеграла с переменным верхним пределом, докажите формулу Ньютона - Лейбница для определенного интеграла.

Пусть функция y=f(x) непрерывна на [a;b] и F(x) – первообразная для f(x), тогда: интеграл f(x)dx=F(b)-F(a), т.е. значение определенного интеграла равно приращению любой из первообразных подынтегральной функции на отрезке интегрирования.

Доказательство: Поскольку функция F(x) непрерывна на отрезке [a;b], то она интегрируема на этом отрезке и имеет первообразную на этом отрезке.

По теореме о производной интеграла по переменному верхнему пределу F(t)=_a∫^t f(x)dx=f(t)

Но первообразные отличаются на c-const

_a∫^t f(x)dx=F(t)+c (*)

1) t=a, значит _a∫^af(x)dx=F(a)+c=0 F(a)=-c подставим это выражение в уравнение (*) и получим:

_a∫^t f(x)dx=F(t)-F(a)

2) t=b, значит _a∫^b f(x)dx=F(b)-F(a)