- •1. Дайте определение предела послед-и. Приведите примеры: а) послед-и, сходящейся к числу 3; б) ограниченной послед-и, не имеющей предела.
- •3. Докажите, что сходящаяся послед-ь имеет только один предел
- •9. Дайте определение бесконечно малой (бм) послед-и. Приведите примеры бм послед-ей, отношение которых: а) является бм послед-ью; б) не является бм послед-ью.
- •10. Докажите, что произведение бм и ограниченной послед-ей является бм послед-ью.
- •13. Всякая ли неограниченная послед-ь является бесконечно большой? Ответ обоснуйте.
- •14. Приведите пример двух бесконечно больших послед-ей, сумма которых является бесконечно малой послед-ью.
- •15. Дайте определение убывающей послед-и. Что можно сказать о пределе убывающей послед-и, если она: а) ограничена снизу; б) не ограничена? Ответ обоснуйте.
- •17. Докажите, что предел суммы двух функций равен сумме их пределов, если последние существуют.
- •32. Следует ли из существования производной функции в точке ее непрерывность в этой точке?
- •34. Сформулируйте и докажите теорему о производной произведения двух функций.
- •40. Докажите, что эластичность произведения двух функций равна сумме их эластичностей.
- •41. Дайте опред и сформул необх усл лок экстремума ф-ии одной переменной. Прив прим ф-ии, для котор это усл выполнено в нек т, но экстремум отсутствует.
- •45. Сформулируйте теорему Коши для пары дифференцируемых функций. Выведите из этой теоремы утверждение теоремы Лагранжа.
- •62. Дайте определение однородной функции нескольких переменных. Приведите пример однородной функции f (X, y) степени 3, не являющейся рациональной функцией.
- •70. Дайте определение выпуклого множества в Rn . Приведите примеры выпуклых множеств в r2 , объединение которых: а) является выпуклым множеством; б) не является выпуклым множеством.
- •71. Докажите, что пересечение двух выпуклых множеств u , V . R2 является выпуклым множеством.
- •73. Дайте определение первообразной. Может ли первообразная иметь точку разрыва?
- •77. Докажите формулу интегрирования по частям для неопределенного интеграла.
- •78. Докажите формулу замены переменной для неопределенного интеграла.
- •82. Используя свойство интеграла с переменным верхним пределом, докажите формулу Ньютона - Лейбница для определенного интеграла.
- •83. Докажите, что для любых непрерывных на отрезке [a,b] функций f (X) и g(X) справедливо равенство
- •91. Дайте определения числового ряда и его суммы. Найдите сумму ряда
- •92. Рассмотрев последовательность частичных сумм ряда, докажите, что при ряд расходится.
- •93. Может ли ряд cходиться, если ряд сходится, а ряд
- •96. Докажите, что для сходимости ряда n, необходимо и достаточно, чтобы последовательность его частичных сумм была ограничена.
- •97 Сформулируйте и докажите признак Даламбера для числовых рядов с положительными членами.
- •98 Сформулируйте признак Даламбера в предельной форме. Приведите пример сход ряда с положит членами, к кот этот признак применим.
- •100 Сформулируйте признак Лейбница для знакочеред числовых рядов. Приведите пример знакочеред ряда, сход условно.
- •114 Дайте определение лин дифф ур 2 ого порядка. Док-те, что если y1(X) и y2(X) решения лнду, то их разность y1(X)-y2(X) явл решением соответ дифф Ур-я.
114 Дайте определение лин дифф ур 2 ого порядка. Док-те, что если y1(X) и y2(X) решения лнду, то их разность y1(X)-y2(X) явл решением соответ дифф Ур-я.
Определение: уравнение вида: у,,+р(х)у,+q(х)у=f(x) , где у - искомая функция, р(х), q(х) и f(x) – непрерывные функции на некотором интервале (a, b), называется линейным дифференциальным уравнением второго порядка.
Т.к. Y1(X) и Y2(X) явл решением, то: Y’+p(X)Y=G(X) - верное по усл
Y1’(X)+P(X)Y1(X)=G(X)-верное по усл
Y2’+P(X)Y2(X)=G(x)- верное по усл
Y1’(X)-Y2’(X)+P(X)(Y1(X)-Y2(X)))=0 –это и есть решение.
115 Дайте опред лин независ. системам ф-ций. Док-те исходя из определения лин независимости y=1 , y=x, y=x2 на R?
Фун-ции Y1(X) u Y2(X) назыв линейно независимыми на (а;в), если не сущ таких чисел с1 и с2, их которых хоть одно отлично от нуля, что для любого Х принадлежащего (а;в) имеет место равенство с1У1(Х)+с2У2(Х)=0.
y1, y 2, …, yk.
c1 y1+c2 y 2+…+ ck y k=0 для любого хD.
у=1, у=х, у=х2 на R
c1 1+c2 х+c3 х2=0 для любого х R
Продифференцируем дважды:
c2 +2c3 х=0
2c3=0
c1+c2 х+c3 х2=0 c1=0
c2 +2c3 х=0 c2=0 у=1, у=х, у=х2 – л.н.з.
2c3=0 c3=0
№116. Док-те лин независимость сист ф-ций у=1, у=х, у=е3х на R, рассм опред Вронского.
y=1, y=ex, y=e3x на R
Чтобы доказать, что эти функции л.н.з., нужно:
-
доказать, что они являются решением дифференциального уравнения;
-
проверить, что их определитель Вронского отличен от нуля.
1=0, 2=1, 3=3.
(-1)( -3)=0
(2-4+3)=0
3-42+3=0
y,,,-4 y,,+3y,=0
1 ex e3x ex 3e3x
W(1, ex, e3x)= 0 ex 3e3x = 1 ex 9e3x = 9e4x-3e4x=6e4x0 для любого х R.
0 ex 9e3x
№117. Дайте определение фундам сист реш лин однородного диф ур-а 2 ого порядка. Какой вид имеет общее решение такого ур-я?
Определение: система функций y1(х), y 2(х), …, yn(х), состоящую из n линейно независимых решений уравнения L(y)=0, называется фундаментальный набор решений этого уравнения.
Общее решение такого уравнения: y=C1 y1+ C2 y2+…+ Cn yn.
№118. Найдите лин диф ур, для кот ф-ции у=е2х и у=е4х обр фундам сист реш?
y= e2x, y= e4x
yобщ.= c1 e2x+ c2 e4x
W(e2x, e4x)= e2x e4x = 2 e6x 0 для любого х R
2e2x 4e4x
1=2, 2=4
(-2)( -4)=0
2-6+8=0
y,,-6y,+8=0.
№119. Дайте опред лин разностного ур-я 2 ого порядка. Док-те, что если Хn(1) и Хn(2) реш лин разностного ур-я, то их разность Хn(1) - Xn(2) явл соответственно реш однород ур-а.
Определение: уравнение вида: F(n, xn, xn+1, xn+2)=0, где n – произвольное натуральное число, xn, xn+1, xn+2 – члены некоторой числовой последовательности, называется разностным уравнением 2-го порядка.
xn(1) и xn(2) – решение линейного однородного разностного уравнения, их разность (xn(1) - xn(2)) – решение соответ. Однородного уравнения.
a2(n) xn+2+ a1(n) xn+1+ a0(n) xn=f(n) (1),
a2(n) ,a1(n) ,a0(n), f(n) – извест. функции натур. аргумента, a2(n)0, a0(n) 0.
a2(n) xn+2+ a1(n) xn+1+ a0(n) xn=0 (2).
Пусть xn(1) и xn(2) – решения неоднородного разностного уравнения (1), т.е.
a2(n) xn+2(1)+ a1(n) xn+1(1)+ a0(n) xn(1)= f(n) (3),
a2(n) xn+2(2)+ a1(n) xn+1(2)+ a0(n) xn(2)= f(n) (4).
(n)= xn(1) и xn(2) – решение уравнения (2), если при подстановке в уравнение (2) является верным равенством.
Подставляем: a2(n) (n+2)+a1(n)(n+1)++ a0(n)(n)= a2(n)( xn+2(1)- xn+2(2))+ a1(n) ( xn+1(1)-xn+1(2))+ a0(n) (xn(1)- xn(2))=( a2(n) xn+2(1)+ a1(n) xn+1(1) + a0(n) xn(1))-( a2(n) xn+2(2)+ a1(n) xn+1(2) + a0(n) xn(2))= f(n)- f(n)=0(n)- решение (2).
№120. Дайте опред лин разностного ур-я к-ого порядка . Каков порядок разностного ур-я 2Хn+Xn+2, выраж харак-кое св-во аримф прогрессии? Укажите общ реш этого ур-я.
Определение: уравнение вида: F(n, xn, …,xn+k)=0, где n – произвольное натуральное число, xn, xn+1,…, xn+k – члены некоторой числовой последовательности, k - фиксир натур число, n – натур число.называется разностным уравнением порядка k.
2xn+1= xn+xn+2 – порядок этого уравнения равен 2.
Общее решение этого уравнения: xn=а1+(n-1), где а1 и=const.