28. Свойства непрерывных на отрезке функций.

1. Функция, непрерывная на отрезке, ограничена на этом отрезке, т.е. на отрезке выполняется условие (первая теорема Вейерштрасса).

2. Функция, непрерывная на отрезке , принимает на нем наиб. и наим. значения ( т.е.

3. Функция, непрерывная на отрезке , принимает все значения между двумя произвольными величинами на этом отрезке (2-ая теорема Больцано-Коши).

4. Если непрерывна в точке , то существует некоторая окрестность точки , в которой функция сохраняет знак.

5. Если непрерывна и имеет на концах отрезка значения противоположных знаков, то существует такая точка внутри этого отрезка, где (1-ая теорема Больцано-Коши).

6. Функция, непрерывная на отрезке, равномерно непрерывна на нем (теорема Кантора).

7. Если – определена, монотонна, непрерывна на некотором промежутке, то и обратная ей функция тоже однозначна, монотонна и непрерывна.

29. Вычисление объема тела.

Доказательство: разобьем на n частей

на каждом отрезке построим прямоугольник. При вращении вокруг оси ОХ каждый прямоугольник опишет цилиндр. Объем і-го цилиндра:

Объем тела равен сумме объемов n цилиндров

так как – непрерывна , то предел при существует и равен:

30. Вычисление площади поверхности тел вращения.

Определение: Площадью поверхности вращения кривой АВ вокруг данной оси называют предел, к которому стремятся площади поверхностей вращения ломаных, вписанных в кривую АВ, при стремлении к нулю наибольших из длин звеньев этих ломаных. Разобьем дугу АВ на n частей точками M0, M1, M2, … , Mn. Координаты вершин полученной ломаной имеют координаты xi и yi. При вращении ломаной вокруг оси получим поверхность, состоящую из боковых поверхностей усеченных конусов, площадь которых равна DPi. Эта площадь может быть найдена по формуле: Здесь DSi – длина каждой хорды. Применяем теорему Лагранжа к отношению .

Получаем: Тогда Площадь поверхности, описанной ломаной равна: Эта сумма не является интегральной, но можно показать, что Тогда - формула вычисления площади поверхности тела вращения.