10.Замена переменных в определенном интеграле
Пусть функция :
-
определена, непрерывно дифференцируема и монотонна на отрезке [α,β],
-
, -
функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b].
Тогда
.
Доказательство. Пусть F(x) - первообразная для функции f(x), т.е. F’(x)=f(x) , тогда F(ϕ(t)) - первообразная для функции f(ϕ(t)*ϕ’(t).
,
что и требовалось доказать.
При решении задач нельзя забывать о том, что при переходе к новой переменной надо обязательно вычислить новые пределы интеграла.
16.Вогнутость и выпуклость графика функции
Теорема. Пусть y=f(x) дифференцируема на (a; b). Если во всех точках интервала (a; b) вторая производная функции y = f(x) отрицательная, т.е. f ''(x) < 0, то график функции на этом интервале выпуклый, если же f''(x) > 0 – вогнутый Достаточное условие вогнутости ( выпуклости ) функции.
Пусть
функция f ( x ) дважды дифференцируема (
имеет вторую производную ) на интервале
( a, b ), тогда:
1.если f '' ( x ) > 0 для любого x ( a, b ), то функция f ( x ) является вогнутой на интервале ( a, b );
2.если f '' ( x ) < 0 для любого x ( a, b ), то функция f ( x ) является выпуклой на интервале ( a, b ) .
Точка, при переходе через которую функция меняет выпуклость на вогнутость или наоборот, называется точкой перегиба. Отсюда следует, что если в точке перегиба x0 существует вторая производная f '' ( x0 ), то f '' ( x0 ) = 0.
Доказательство. Предположим для определенности, что f''(x) < 0 и докажем, что график функции будет выпуклым.
Возьмем
на графике функции y = f(x) произвольную
точку M0 с абсциссой x0 Î (a; b) и проведем
через точку M0 касательную. Ее уравнение
. Мы должны показать, что график функции
на (a; b) лежит ниже этой касательной, т.е.
при одном и том же значении x ордината
кривой y = f(x) будет меньше ордината
касательной.
Итак,
уравнение кривой имеет вид y = f(x). Обозначим
ординату касательной, соответствующую
абсциссе x. Тогда
. Следовательно, разность ординат кривой
и касательной при одном и том же значении
x будет
.
Разность
f(x) – f(x0) преобразуем по теореме Лагранжа
, где c между x и x0.Таким образом,
К выражению,
стоящему в квадратных скобках снова
применим теорему Лагранжа:
, где c1 между c0 и x0. По условию теоремы f
''(x) < 0. Определим знак произведения
второго и третьего сомножителей.
Предположим, что x>x0. Тогда x0<c1<c<x, следовательно, (x – x0) > 0 и (c – x0) > 0. Поэтому .
Пусть
x<x0, следовательно, x < c < c1 < x0 и (x –
x0) < 0, (c – x0) < 0. Поэтому вновь
.
Таким образом, любая точка кривой лежит ниже касательной к кривой при всех значениях x и x0 Î (a; b), а это значит, что кривая выпукла. Вторая часть теоремы доказывается аналогично.
17.Вычисление площади криволинейного сектора
Доказательство:
Пусть мы работаем в полярных координатах и имеем дело с кривой r=r (q ) , a £ q £ b
Фигуру , ограниченную :
А) графиком кривой r=r (q )
Б) прямыми q = a и q = b назовём криволинейным сектором .
Разобьём отрезок [a , b ] на части точками q1, q 2 , …q n-1 , так ,что
a = q 0 <q 1<q 2<…<q n-1<q n-b и обозначим l = max D q I
Пусть mi = int r (q ) ? Mi = sup r(0) и
q Î [ q I, q I+1] q = [ q I, q I+1]
Так как
есть площадь кругового сектора радиуса
r и углом D q , то s и S есть площадь всех
круговых секторов , вписанных и описанных
вокруг нашего криволинейного сектора
.
Если при l ® 0 существует lim s и lim S и они равны друг другу , то их общее значение называется площадью криволинейного сектора .
P= lim s = lim S
Но так как s и S есть снова суммы Дарбу , то
что и определяет площадь криволинейного сектора .