16.Вогнутость и выпуклость графика функции

Теорема. Пусть y=f(x) дифференцируема на (a; b). Если во всех точках интервала (a; b) вторая производная функции y = f(x) отрицательная, т.е. f ''(x) < 0, то график функции на этом интервале выпуклый, если же f''(x) > 0 – вогнутый Достаточное условие вогнутости ( выпуклости ) функции.

Пусть функция f ( x ) дважды дифференцируема ( имеет вторую производную ) на интервале ( a, b ), тогда:

1.если f '' ( x ) > 0 для любого x ( a, b ), то функция f ( x ) является вогнутой на интервале ( a, b );

2.если f '' ( x ) < 0 для любого x ( a, b ), то функция f ( x ) является выпуклой на интервале ( a, b ) .

Точка, при переходе через которую функция меняет выпуклость на вогнутость или наоборот, называется точкой перегиба. Отсюда следует, что если в точке перегиба x0 существует вторая производная f '' ( x0 ), то f '' ( x0 ) = 0.

Доказательство. Предположим для определенности, что f''(x) < 0 и докажем, что график функции будет выпуклым.

Возьмем на графике функции y = f(x) произвольную точку M0 с абсциссой x0 Î (a; b) и проведем через точку M0 касательную. Ее уравнение . Мы должны показать, что график функции на (a; b) лежит ниже этой касательной, т.е. при одном и том же значении x ордината кривой y = f(x) будет меньше ордината касательной.

Итак, уравнение кривой имеет вид y = f(x). Обозначим ординату касательной, соответствующую абсциссе x. Тогда . Следовательно, разность ординат кривой и касательной при одном и том же значении x будет .

Разность f(x) – f(x0) преобразуем по теореме Лагранжа , где c между x и x0.Таким образом,

К выражению, стоящему в квадратных скобках снова применим теорему Лагранжа: , где c1 между c0 и x0. По условию теоремы f ''(x) < 0. Определим знак произведения второго и третьего сомножителей.

Предположим, что x>x0. Тогда x0<c1<c<x, следовательно, (x – x0) > 0 и (c – x0) > 0. Поэтому .

Пусть x<x0, следовательно, x < c < c1 < x0 и (x – x0) < 0, (c – x0) < 0. Поэтому вновь .

Таким образом, любая точка кривой лежит ниже касательной к кривой при всех значениях x и x0 Î (a; b), а это значит, что кривая выпукла. Вторая часть теоремы доказывается аналогично.

17.Вычисление площади криволинейного сектора

Доказательство:

Пусть мы работаем в полярных координатах и имеем дело с кривой r=r (q ) , a £ q £ b

Фигуру , ограниченную :

А) графиком кривой r=r (q )

Б) прямыми q = a и q = b назовём криволинейным сектором .

Разобьём отрезок [a , b ] на части точками q1, q 2 , …q n-1 , так ,что

a = q 0 <q 1<q 2<…<q n-1<q n-b и обозначим l = max D q I

Пусть mi = int r (q ) ? Mi = sup r(0) и

q Î [ q I, q I+1] q = [ q I, q I+1]

Так как есть площадь кругового сектора радиуса r и углом D q , то s и S есть площадь всех круговых секторов , вписанных и описанных вокруг нашего криволинейного сектора .

Если при l ® 0 существует lim s и lim S и они равны друг другу , то их общее значение называется площадью криволинейного сектора .

P= lim s = lim S

Но так как s и S есть снова суммы Дарбу , то

что и определяет площадь криволинейного сектора .