2.4. Корневые критерии качества

Группа корневых критериев основана на оценке качества переходного процесса по значениям полюсов и нулей передаточных функций САУ.

В отличие от исследования устойчивости (имеют значение только полюсы передаточной функции) при оценке качества переходного процесса необходимо учитывать и нули.

Только в частном случае, когда нулей нет, качество переходного процесса определяется только полюсами. Рассмотрим именно этот случай.

Переходный процесс в устойчивой системе распадается на затухающие и колебательные составляющие. Если найти длительность самой длительной составляющей и величину колебательности самой колебательной составляющей, то по ним можно оценить верхние пределы величин длительности и колебательности всего переходного процесса.

Время затухания отдельной составляющей определяется величиной:

где - действительная часть i - го корня характеристического уравнения.

- постоянная времени затухания.

Можно считать, что длительность i - ой составляющей переходного процесса:

, то есть длительность составляющей переходного процесса обратно пропорциональна абсолютному значению действительной части корней характеристического уравнения.

Абсолютная величина называется степенью устойчивости и обозначается .

При этом длительность переходного процесса будет:

Термин «степень устойчивости» связан с тем, что геометрически η – есть расстояние от мнимой оси, являющейся границей устойчивости, до ближайшего корня.

Колебательность колебательной составляющей переходного процесса определяется отношением соседних максимумов:

где: - момент появления первого максимума i –той составляющей переходной характеристики;

- период колебаний

Таким образом, колебательность равна:

Следовательно, мерой колебательности является отношение . Чем больше это отношение, тем больше колебательность составляющей. Наиболее колебательной является составляющая, у которой это отношение максимально. Соответствующая величина называется степенью колебательности.

В комплексной плоскости корень, определяющий наиболее колебательную составляющую, соответствует наибольшему значению угла между лучом, направленным через корень из начала координат, и действительной отрицательной осью.

Если передаточная функция имеет нули, то известно, что положительные члены полинома числителя передаточной функции приведут к повышению колебательности и убыстрению переходного процесса, а отрицательные – к затягиванию переходного процесса.

2.5. Интегральные критерии качества

Интегральными критериями качества называются такие, которые одним числом оценивают и величины отклонений, и время затухания переходного процесса.

Обозначим отклонение выходной величины от нового установившегося значения (рис.7).

Рис.7

Для монотонного процесса интегральной оценкой может служить заштрихованная площадь над кривой переходного процесса, то есть:

Такой интеграл называется линейной интегральной оценкой. Процесс будет тем лучше, чем меньше число .

Однако, такая оценка не годится для колебательного процесса, так как площади расположенные выше и ниже прямой будут иметь разные знаки. Поэтому по минимуму наилучшим оказался бы процесс с незатухающими колебаниями.

В связи с этим, в общем случае принимают квадратичную интегральную оценку качества в виде:

Интегральные оценки качества используются для определения оптимальных значений варьируемый параметров по минимуму значения соответствующей интегральной оценки.

Применяются интегральные критерии, обычно в теории оптимальных систем.