2.3. Частотные критерии качества

Для иллюстрации возможности оценки качества переходного процесса по частотным характеристикам установим точную аналитическую зависимость между переходной характеристикой h(t) и вещественной частотной характеристикой (ВЧХ) P(ω).

На основании возможности разложения функции времени в ряд Фурье единичное ступенчатое воздействие можно представить в виде выражения:

то есть суммы постоянной составляющей и бесконечного числа синусоид частотой ω и амплитудой при изменении ω от 0 до ∞.

Уравнение АФЧХ имеет вид:

Если на вход системы подать 1(t) , то каждому из входных синусоидальных колебаний будет соответствовать колебание на выходе с амплитудой , сдвинутое по фазе относительно входного колебания на угол φ(ω):

Постоянной составляющей на входе будет соответствовать постоянная составляющая на выходе.

Результирующее значение выходной величины:

(3)

Так как воздействие 1(t) подается в момент t = 0, то при t < 0^

Уравнение (3) при подстановке значения (-t) вместо t примет вид:

(4)

Вычтем из уравнения (3) уравнение (4):

(5)

Пользуясь зависимостью (5), можно составить предварительное приближенное суждение о качестве переходной характеристики по виду ВЧХ. Различные типы ВЧХ представлены на рис. 3.

Рис.3.

Основные положения оценки качества по ВЧХ сводятся к следующему:

1. Приблизительно одинаковым частотным характеристикам соответствуют приблизительно одинаковые переходные характеристики.

2. Значение переходной характеристики h(t) в установившемся состоянии подчиняется следующему соотношению:

3. Если ВЧХ имеет вид кривой 1 - переходная характеристика будет монотонной.

4. Для ВЧХ, имеющей вид кривой 2, характерно наличие перерегулирования у переходной характеристики величиной .

5. Наличие экстремума ВЧХ (кривая 3) увеличивает колебательность до величины:

6. 

7. Наличие экстремума в отрицательной области (кривая 4) приводит к дополнительному росту колебательности:

8. 

9. где - величина экстремума ВЧХ в отрицательной области.

10. Длительность переходного процесса оценивается приблизительно по величине интервала существенных частот (в этом интервале ), причем:

11. Острый пик ВЧХ при свидетельствует о медленно затухающих колебаниях с частотой, близкой к .

12. Если при некоторой частоте ВЧХ претерпевает разрыв, то САУ является неустойчивой.

Колебательность переходной характеристики можно оценить по величине относительного максимума амплитудной характеристики А(ω), примерный вид которой представлен на рис.4.

Рис.4.

Величина относительного максимума называется показателем колебательности М и определяется соотношением:

При М < 1 переходная характеристика неколебательна. Чем больше М , тем больше колебательность. При М → ∞ - незатухающие колебания. Оптимальным обычно считается М = 1,3 - 1,5 . При этом переходная характеристика имеет слабую колебательность с частотой, близкой к .

Вследствие предельной частоты построения ЛАЧХ удобно пользоваться именно этой характеристикой. Информацию здесь несет среднечастотная часть характеристики.

При частоте среза наклон ЛАЧХ должен составлять минус 20 дБ/дек, а значение определяется временем переходного процесса и перерегулированием :

,

где k берется по графику на рис. 5 в зависимости от величины .

Рис.5.

Сопрягающие частоты ЛАЧХ слева и справа от , как показано на рис.6, рассчитывается по выражениям:

Рис.6.

Величины наклонов ЛАЧХ слева от и справа от на качество переходного процесса не влияют.