- •8. Линейные цепи с распределенными параметрами. Длинные линии.
- •1) Цепи с сосредоточенными параметрами – здесь привычные параметры сопротивления, индуктивности и емкости сосредоточены в локальных точках цепи
- •8.1. Уравнения однородной линии в стационарном режиме
- •8.2. Бесконечно длинная однородная линия. Согласованный режим работы
- •8.3. Линия без искажений
- •8.4. Уравнения линии конечной длины
- •8.5. Уравнения длинной линии как четырехполюсника
- •Определение параметров длинной линии из опытов холостого хода и короткого замыкания
- •8.6. Линия без потерь
- •8.7. Стоячие волны в длинных линиях
- •8.8. Волновое сопротивление длинной линии.
- •8.9. Коэффициент распространения. Способ определения первичных параметров
- •8.10. Переходные процессы в цепях с распределенными параметрами
- •2.9. Уравнения переходных процессов в цепях с распределенными параметрами
- •В любой момент времени напряжение и ток в любой точке линии рассматриваются как результат наложения прямой и обратной волн этих переменных на соответствующие величины предшествующего режима.
- •Всякое изменение режима работы цепи с распределенными параметрами обусловливает появление новых волн, накладываемых на существующий режим.
- •Для каждой волны в отдельности выполняется закон Ома для волн.
8.7. Стоячие волны в длинных линиях
Как было показано выше, решение уравнений длинной линии можно представить в виде суммы прямой и обратной волн. В результате их наложения в цепях с распределенными параметрами возникают смешанные в том числе и стоячие волны.
Рассмотрим два предельных случая: ХХ и КЗ в линии без потерь, когда поглощаемая приемником активная мощность равна нулю.
При ХХ на основании уравнений (17) и (18) имеем
и ,
откуда для мгновенных значений напряжения и тока можно записать
; |
(19) |
. |
(20) |
Последние уравнения представляют собой уравнения стоячих волн, являющихся результатом наложения прямой и обратной волн с одинаковыми амплитудами.
При ХХ в соответствии с (19) и (20) в точках с координатами , где k - целое число, имеют место максимумы напряжения, называемые пучностями, и нули тока, называемые узлами. В точках с координатами пучности и узлы напряжения и тока меняются местами (см. рис. 2). Таким образом, узлы и пучности неподвижны, и пучности одной переменной совпадают с узлами другой и наоборот.
При КЗ на основании уравнений (17) и (18)
и ,
откуда для мгновенных значений можно записать
т.е. и в этом случае напряжение и ток представляют собой стоячие волны, причем по сравнению с режимом ХХ пучности и узлы напряжения и тока соответственно меняются местами.
Поскольку в узлах мощность тождественно равна нулю, стоячие волны в передаче энергии вдоль линии не участвуют. Ее передают только бегущие волны. Чем сильнее нагрузка отличается от согласованной, тем сильнее выражены обратные и, следовательно, стоячие волны. В рассмотренных предельных случаях ХХ и КЗ имеют место только стоячие волны, и мощность на нагрузке равна нулю.
8.8. Волновое сопротивление длинной линии.
Волновое сопротивление .
Волновое сопротивление не зависит от длины линии, а определяется ее первичными параметрами.
Определим модуль и аргумент волнового сопротивления соответственно:
, .
Построим графическую зависимость и . Для всех реально существующих линий , поэтому:
Самостоятельно определить ωm! Ответ: .
Используя уравнения передачи вида:
, ,
определим напряжение и ток в начале линии при согласованном режиме, когда, где – сопротивление нагрузки:
, ,
, ,
, .
Поскольку , , тогда .
Окончательно получим:
, .
Из последних уравнений легко определить напряжение и ток в конце линии:
, .
Напряжение и ток в любой точке линии при согласованном режиме определяются:
, .
8.9. Коэффициент распространения. Способ определения первичных параметров
Коэффициент распространения: , откуда
– коэффициент ослабления, – коэффициент фазы.
Определим модуль и аргумент коэффициента распространения соответственно:
, .
Построим графическую зависимость и .
При согласованном режиме , , отсюда:
.
Пусть , , , , тогда
, следовательно
, , откуда определяем:
[Нп/м], либо [дБ/м]
, для линии длинной x = 1м, получаем [рад/м].
Рассмотрим способ определения первичных параметров по известным вторичным параметрам.
Т.к. , , то
, .
Таким образом:
, , , .
Вопрос № 32 Входное сопротивление длинной линии
Входное сопротивление линии определяется отношением напряжения и тока в начале линии. Определим входное сопротивление с помощью уравнений передачи:
, после преобразований
Рассмотрим частные случаи режима работы линии.
При согласованном режиме работы , тогда входное сопротивление линии равно волновому сопротивлению: .
В режиме короткого замыкания , тогда
.
В режиме холостого хода , тогда
.
На практике удобно входное сопротивление линии выражать через параметры холостого хода и короткого замыкания, т.е. и .
,
Представим зависимость модулей сопротивлений XX и КЗ от длины линии и зависимость модуля от частоты при несогласованной нагрузке.
Выводы:
Колебательный характер входного сопротивления при несогласованном режиме объясняется наличием в линии падающих и отраженных волн.
При изменении частоты и длины линии изменяется фаза отраженной волны.
Если в начале линии отраженная и падающая волна напряжения совпадают по фазе (отраженная и падающая волна тока находятся в противофазе), то
.
Если в начале линии отраженная и падающая волна напряжения находятся в противофазе (отраженная и падающая волна тока совпадают по фазе), то
.
Определим входное сопротивление линии без потерь в режиме ХХ.
.
x 0
При КЗ U2=0 и на основании уравнений (17) и (18)
и ,
откуда для мгновенных значений можно записать
т.е. и в этом случае напряжение и ток представляют собой стоячие волны, причем по сравнению с режимом ХХ пучности и узлы напряжения и тока соответственно меняются местами.
Поскольку в узлах мощность тождественно равна нулю, стоячие волны в передаче энергии вдоль линии не участвуют. Ее передают только бегущие волны. Чем сильнее нагрузка отличается от согласованной, тем сильнее выражены обратные и, следовательно, стоячие волны. В рассмотренных предельных случаях ХХ и КЗ имеют место только стоячие волны, и мощность на нагрузке равна нулю
Определим входное сопротивление линии без потерь в режиме КЗ.
.
Линия без потерь. Согласованный режим.
Линия без потерь – это линия, у которой рассеяние энергии отсутствует, т.е. .
Отсюда коэффициент ослабления , а коэффициент фазы линейно зависит от частоты. Из курса физики известно, что длина волны λ – расстояние между двумя точками, взятыми в направлении распространения волны, фазы в которых отличаются на 2π, т.е. , откуда .
Уравнения передачи для линии без потерь выглядят в виде:
, .
Для произвольной точки линии без потерь уравнения запишем в виде:
, .
При согласованном режиме , с учетом того, что , получим
,
.
Запишем уравнения для мгновенных значений напряжения и тока
,
.
Эти уравнения описывают падающие волны, распространяющиеся в линии слева направо. В линии без потерь при согласованном включении существуют только падающие (бегущие) волны. Данный режим работы еще называют режимом бегущей волны.
Линия без потерь. Смешанный режим
Рассмотрим работу линии без потерь, если . Данный режим работы называется смешанным, т.е. одновременно наблюдается режим бегущей волны и режим стоячей волны. Для оценки близости к режиму бегущей волны вводят коэффициент бегущей волны (КБВ):
Иногда на практике используют коэффициент стоячей волны (КСВ).
.
Область изменения данных коэффициентов:
, .
Если КБВ = 0, КСВ = – стоячая волна, если КБВ = 1, КСВ = 1 – бегущая волна.
Ранее было показано, что
– комплексный коэффициент отражения по напряжению.
Следовательно:
, .
Распределение величин действующих значений напряжений и токов в линии при разных режимах работы
Режимы короткого замыкания, холостого хода и реактивной нагрузки
ZН=jXН
Смешанный режим (нагрузка не равна волновому сопротивлению ZB=√L/C)
При всех прочих значениях сопротивления нагрузки ZН и значениях модуля р в пределах 0 р 1 существует режим смешанных волн, когда часть энергии волны поглощается в сопротивлении нагрузки, а другая часть отражается. Отражённая волна интерферирует с падающей, вследствие чего в точках, где падающая и отражённая волна находятся в противофазе, имеет место минимум, а где они синфазны - максимум.