- •8. Линейные цепи с распределенными параметрами. Длинные линии.
- •1) Цепи с сосредоточенными параметрами – здесь привычные параметры сопротивления, индуктивности и емкости сосредоточены в локальных точках цепи
- •8.1. Уравнения однородной линии в стационарном режиме
- •8.2. Бесконечно длинная однородная линия. Согласованный режим работы
- •8.3. Линия без искажений
- •8.4. Уравнения линии конечной длины
- •8.5. Уравнения длинной линии как четырехполюсника
- •Определение параметров длинной линии из опытов холостого хода и короткого замыкания
- •8.6. Линия без потерь
- •8.7. Стоячие волны в длинных линиях
- •8.8. Волновое сопротивление длинной линии.
- •8.9. Коэффициент распространения. Способ определения первичных параметров
- •8.10. Переходные процессы в цепях с распределенными параметрами
- •2.9. Уравнения переходных процессов в цепях с распределенными параметрами
- •В любой момент времени напряжение и ток в любой точке линии рассматриваются как результат наложения прямой и обратной волн этих переменных на соответствующие величины предшествующего режима.
- •Всякое изменение режима работы цепи с распределенными параметрами обусловливает появление новых волн, накладываемых на существующий режим.
- •Для каждой волны в отдельности выполняется закон Ома для волн.
8.4. Уравнения линии конечной длины
Постоянные и в полученных в предыдущей лекции формулах
; |
(5) |
() |
(6) |
определяются на основании граничных условий.
Пусть для линии длиной l (см. рис. 1) заданы напряжение и ток в начале линии, т.е. при x=0.
Тогда из (5) и (6) получаем
откуда
Подставив найденные выражения и в (5) и (6), получим
|
(7) |
|
(8) |
Уравнения (7) и (8) позволяют определить ток и напряжение в любой точке линии по их известным значениям в начале линии. Обычно в практических задачах бывают заданы напряжение и ток в конце линии. Для выражения напряжения и тока в линии через эти величины перепишем уравнения (5) и (6) в виде
; |
(9) |
. |
(10) |
Обозначив и , из уравнений (9) и (10) при получим
откуда
После подстановки найденных выражений и в (9) и (10) получаем уравнения, позволяющие определить ток и напряжение по их значениям в конце линии
; |
(11) |
. |
(12) |
Координату обозначают еще как y.
8.5. Уравнения длинной линии как четырехполюсника
В соответствии с (11) и (12) напряжения и токи в начале и в конце линии связаны между собой соотношениями
;
.
Эти уравнения соответствуют уравнениям симметричного четырехполюсника, коэффициенты которого ; и ; при этом условия выполняются.
Указанное означает, что к длинным линиям могут быть применены элементы теории четырехполюсников, и, следовательно, как всякий симметричный четырехполюсник, длинная линия может быть представлена симметричной Т- или П- образной схемами замещения.
Определение параметров длинной линии из опытов холостого хода и короткого замыкания
Как и у четырехполюсников, параметры длинной линии могут быть определены из опытов холостого хода (ХХ) и короткого замыкания (КЗ).
При ХХ и , откуда входное сопротивление
. |
(13) |
При КЗ и . Следовательно,
. |
(14) |
На основании (13) и (14)
|
(15) |
и
,
откуда
. |
(16) |
Выражения (15) и (16) на основании данных эксперимента позволяют определить вторичные параметры и линии, по которым затем могут быть рассчитаны ее первичные параметры ,, и.
8.6. Линия без потерь
Линией без потерь называется линия, у которой первичные параметры и равны нулю. В этом случае, как было показано ранее, и . Таким образом,
,
откуда.
Раскроем гиперболические функции от комплексного аргумента:
Тогда для линии без потерь, т.е. при , имеют место соотношения: и .
Таким образом, уравнения длинной линии в гиперболических функциях от комплексного аргумента для линии без потерь трансформируются в уравнения, записанные с использованием круговых тригонометрических функций от вещественного аргумента:
; |
(17) |
. |
(18) |
Строго говоря, линия без потерь (цепь с распределенными параметрами без потерь) представляет собой идеализированный случай. Однако при выполнении и , что имеет место, например, для высокочастотных цепей, линию можно считать линией без потерь и, следовательно, описывать ее уравнениями (17) и (18).