Примеры

1. Таблица решений

Вариант УР	Значение сожаления в ситуации			Максимальное значение функции сожаления
	1	2	3
1	0	0,12	0,38	0,38
2	0,23	0,02	0	0,23
3	0,09	0	0,24	0,24

Из таблицы видно, что предпочтительным является вариант 2.

2. Таблица сожалений

	S1	S2	S3
a1	0	300	0	300
а2	100	100	100	100
а3	400	0	400	400

а – действия

S – условия

Выбираем min из max-ма сожалений (а₂).

Критерий Бернулли-Лапласа (недостаточной определенности)

Критерий Бернулли-Лапласа, или критерий недостаточного обоснования, исходит из предположения о равной вероятности ситуаций S_j. В соответствии с этим критерием лучшим является вариант a_i, для которого среднее значение полезности U_ij/m максимально на множестве рассматриваемых вариантов.

Пессимистично считать все события равновероятными.

Метод недостаточного обоснования заключается в том, что нет достойного обоснования для оценки каждого сценария.

u(a_i)=1/m*∑ e_ij

^j

m- минимум ущерба

Пример

Таблица решений

Вариант УР	Нормированные значения полезности вариантов УР в ситуации
	1	2	3
1	0,65	0,56	0,6
2	0,42	0,66	0,98
3	0,56	0,68	0,74

Применяя критерий Бернулли-Лапласа, вычислим значения полезностей исходов каждого варианта в предположении равной вероятности ситуаций. Для первого варианта получим значение 0,603, для второго – 0,687, для третьего – 0,66. Следовательно, лучшим следует признать вариант 2.

Критерий оптимизма-пессимизма Гурвица

В критерии Гурвица сделана попытка преодолеть пессимизм предыдущих путем введения некоторого коэффициента d, позволяющего выбрать компромиссный вариант. При d=1 критерий Гурвица превращается в максиминный критерий Вальда, а при d=0 – максимаксный. Первый является критерием пессимистическим, второй оптимистическим, поэтому критерий Гурвица называют критерием пессимизма-оптимизма. Этот критерий для i–й альтернативы и для максимизируемого значения полезности альтернативы определяется выражением U_i=d*min U_ij +(1-d)*max U_ij. При минимизации показателя U_i коэффициенты d и (1-d) в этом выражении меняются местами.

Примеры

1. Таблица решений

Вариант УР	Нормированные значения полезности вариантов УР в ситуации
	1	2	3
1	0,65	0,56	0,6
2	0,42	0,66	0,98
3	0,56	0,68	0,74

При использовании критерия Гурвица заметим, что в рассматриваемом примере минимальное значение больше у вариантов 1 и 3 совпадают, а максимальное значение больше у варианта 3. Следовательно, при всех значениях параметра d1 вариант 3 всегда предпочтительнее, чем вариант 1, а при d=1 оба варианта равноценны. Отношение между вариантами 2 и 3 зависит от значения коэффициента d. Выражения для определения этого коэффициента имеют вид

x_d2=0.42d+0.98(1-d)

x_d3=0.56d+0.74(1-d)

Приравняв x_d2 и x_d3 и решив полученное уравнение, получим d_кр=0,857, т.е. при d0.857 лучшим является вариант 2, в противном случае – вариант 1.

2. Коэффициент оптимизма-пессимизма: d; 0≤d≤1

Для нахождения варианта действий найдем наилучшую и наихудшую оценку.

Таблица решений

	S1	S2	S3	eij max/min
a1	1300	1000	1500	1000
а2	1200	1200	1400	1200
а3	900	1300	1100	900
а4	1100	1200	1300	1100

а – действия

S – условия

е_ij - эффект

d - вероятность

a1	1000 1500
а2	1200 1400
а3	900 1300

Находим полезность каждого действия: u(a_i)=dj*min e_ij +(1-d_j)*max e_ij

Выбираем тот вариант, у которого u – максимальная.

Проблема: как выбрать d - опытным путем.

6. Ранжирование альтернатив УР. Непосредственное упорядочивание. Парные сравнения. Оценка согласованности индивидуальных ранжировок. Действия ЛПР при малой согласованности.

Ранжирование альтернатив УР

Ранжирование – это способ выражения предпочтений, заключающийся в расположении предъявленных элементов (альтернатив) в порядке возрастания (так называемое прямое ранжирование) или убывания (обратное ранжирование) их предпочтительности. Каждому элементу в упорядоченном ряду приписывают натуральное число, называемое рангом элемента. В случае строгого ранжирования не допускается указывать на равноценность элементов, следовательно, каждый элемент занимает свое отдельное место в ранжированном ряду и приобретает свой уникальный ранг. При нестрогом ранжировании несколько элементов могут занимать одинаковое место в ранжировке и получают одинаковый ранг. Такое ранжирование является измерением в порядковой шкале.

Метод ранжирования вариантов выбора (непосредственное упорядочение)

Данный метод применяют обычно при числе ранжируемых объектов n, не более 5-7. Это ограничение установлено психологами, так называемое число Миллера 7±2, и определяется, как считают, объемом оперативной памяти человека. Сама процедура проста и привычна для участников ЭИП, что является ее несомненным достоинством. Членам группы экспертов сообщают перечень ранжируемых объектов, предоставляют всю имеющуюся у организаторов процедуры информацию об этих объектах, признак или признаки, по которым необходимо упорядочение, и принцип упорядочения: по убыванию или по возрастанию значения учитываемого признака. Задача каждого члена группы экспертов состоит в определении для каждого объекта его места (ранга) в упорядочении. Эксперт решает эту задачу на основе полученной информации и имеющихся у него индивидуальных знаний об объектах и требованиях к ним.

Будем считать, что меньший ранг соответствует максимальной интенсивности проявления оцениваемого свойства (ранжирующего признака). Получаемую от экспертов информацию представляют в виде оценок x_ij, имеющих значение от 1 до n. Если участник ЭИП считает объекты равными по значению ранжирующего признака, он приписывает им равные ранги, то есть одинаковые значения x_ij. Полученная таким образом информация может быть представлена в виде таблицы: x_ij-ранг

члены группы экспертов	объекты
	1	...	j	…	n
1	x11		x1j		x1n
…
i	xi1		xij		xin
…
m	xm1		xmj		xmn
∑

Ранжирование по результатам опроса всех членов группы экспертов определяют на основе упорядочения сумм рангов объектов, то есть значений ∑x_ij, при этом меньшая сумма определяет первый ранг и т.д.

Несмотря на кажущуюся простоту, непосредственное упорядочение, по мнению психологов, является достаточно сложной эвристической операцией, что сказывается на достоверности получаемых результатов. Еще одним аргументом против использования непосредственного упорядочения является то, что применяемая для нахождения агрегированной оценки операция суммирования является математически не корректной в порядковой ранговой шкале.

Методы парных сравнений

Парные сравнения – наиболее простой метод получения информации о предпочтениях на множестве ранжируемых объектов, при котором каждый член группы экспертов сравнивает все объекты попарно, выявляя в каждой паре объект с более выраженным значением учитываемого признака, то есть определяет отношение (лучше, хуже, равноценные).

Удобной формой представления получаемой от членов группы экспертов информации является таблица парных сравнений.

	1	…	j	…	m
1	1		1		0
…
i	1		1		0
…
n	0		0		1

Классический подход

х_ij =1, a_i > a_j

0, a_i < a_j

х_ij = х_ji = ǿ

Другой подход

х_ij =1, a_i > a_j

0, a_i < a_j

½, a_i ~ a_j

b_i = ∑ х_{ij -} ∑ по строчке

Таблицу заполняют следующим образом: если у объекта i значение ранжируемого признака лучше чем у объекта j, то х_ij=1, а х_ij^’=0, при равенстве значений признака у сравниваемых объектов i и j х_ij = хij^’ =0,5. Сумма элементов i-й строки таблицы парных сравнений ∑ х_ij определяет место i-го объекта в упорядочении k-го члена группы экспертов и его ранг. При этом R_i^k=1 (первый ранг) для того объекта, у которого ∑ х_ij=max (max b_i), то есть объекта с лучшим значением ранжирующего признака на множестве рассматриваемых.

Таким образом, на основе таблицы парных сравнений каждого члена группы экспертов, определяют его индивидуальное представление о ранжировании объектов. Далее обработку результатов осуществляют так же, как в методе непосредственного упорядочения, только складываются не ранги, а значения ∑ х_ij. Так как переменные х_ij представляют собой индексы, их сложение является корректной операцией в порядковой шкале.

Весовой коэффициент для упорядочения свойств метода парных сравнений:

_{n n n}

М=∑ х_ij / ∑∑ х_ij , х_ij - число в ячейке ij суммарной таблицы парных сравнений

^{j i j}

Оценка согласованности ранжирований

Оценка точности и достоверности результатов ранжирования, как и всех остальных ЭИП, вытекает из предположения о том, что согласованное мнение высококвалифицированных специалистов с высокой вероятностью является правильным. Так как действительное значение оцениваемых с помощью ЭИП показателей неизвестно, нельзя получить какие-либо оценки точности. Поэтому при использовании ЭИП применяется оценка согласованности мнений участников процедуры, и, если она достаточно высока, результаты признаются правильными. В процедуре ранжирования согласованность мнений членов группы экспертов характеризуется значением коэффициента конкордации:

W=12S(d²)/nm(n²-1)-m∑∑(t_ij²-1), где

^{i j}

S (d²)=∑[∑x_ij-1/2m(n+1)]², где

^{i j}

x_ij – ранг j–го объекта ранжирования у i–го члена группы эксперты

t_ij – число повторений j–го ранга у i–го члена группы экспертов

m – число экспертов

n – число ранжируемых объектов

При одинаковом ранжировании всеми членами группы экспертов – W=1, а при полной несогласованности W=0. Так как коэффициент конкордации является случайной величиной, далее стандартными методами математической статистики может быть определена его значимость.

Действия ЛПР при малой согласованности

При недостаточной согласованности, можно поочередно, исключая полученные от каждого из членов группы экспертов оценки, найти те, которые являются причиной этой несогласованности. Получив от члена группы экспертов, давшего эти оценки, содержательною аргументацию и доведя ее до остальных участников процедуры, проводят следующий тур ЭИП.

7. Механизм векторно-оптимизационного выбора. Отношение Парето. Оптимальность по Парето. Несравнимость по Парето. Отношение лексикографии. Метод уступок. Метод аддитивной полезности (весовых коэффициентов).

Механизм векторно-оптимизационного выбора

Часто для выбора необходимо учитывать совокупность свойств вариантов.

В этом случае структура σ задается в виде n>1 отображений φ_i(a) множества А, то есть в виде вектор-функции φ(a)=(φ₁(a),….., φ_n(a)). Правило π в данном случае имеет смысл векторной оптимизации функции φ(a), понимаемой как выделение из А множества всех оптимальных по Парето вариантов по векторному критерию φ. Результат такого выбора определяется свойствами отношения Парето. Оптимальные по Парето варианты часто называют паретовскими или парето-оптимальными. Реализуемый в таких условиях механизм называют векторно-опимизационным.

Отношение Парето

В случае, когда объекты отношения характеризуются m показателями, отношение между ними определяется отношениями между этими m показателями. Одним из отношений возникающих в этом случае является отношение Парето.

Пусть значения x_j, y_j значения j–го показателя вариантов x и y соответственно. Отношением Парето (Р) называется отношение:

[xPy]↔{(¥ j=1,m) [ x_j≥y_j] и (существует j €{1,….,m}) [x_j>y_j]}

Таким образом, объект х находится в отношении Парето с объектом y, если для всех пар показателей существует отношение нестрогого порядка и хотя бы для одной - строгого.

Принцип оптимальности Парето

Данный принцип определяется отношением Парето. Парето-оптимальной альтернативой (выбором) является альтернатива, которая по всем оценкам не хуже остальных, но хотя бы по одной строго лучше других.

a_к Ра_l ↔ φ_i(a_k) ≥ φ_i(a_l), для любого i и существует φ_s: φ₁(a_k) > φ₁(a_l)

a_к – лучше в Парето отношении (в смысле Парето-оптимальности)

Трудность: Парето–оптимальных решений может быть несколько.

Несравнимость по Парето

Лексикографическое правило выбора

Лексикографический механизм выбора основан на предположении о неравноценности для ЛПР составляющих вектор-функции φ(a)=(φ₁(a),….., φ_n(a)) и предусматривает выбор варианта по отношению лексикографии L. Если вариантов, лучших по самому важному показателю несколько, а требуется выбрать один, процедура продолжается путем выделения вариантов, превосходящих остальные по второму по важности показателю, и т.д. Недостатком этого метода считается учет важности показателей только посредством их упорядочения. Существует ряд методов, которые различными способами уточняют оценку важности показателей.

Метод уступок

В механизме взаимных уступок вводится множество оценок ∆ φ_i(a), имеющих смысл уступки, которую ЛПР готов сделать по этому показателю для того, чтобы ввести в рассмотрение следующий по важности показатель. Механизм выбора реализует отношение лексикографии, но на каждом шаге сравнение вариантов осуществляется с учетом уступки ∆ φ_i.

Метод аддитивной полезности (весовых коэффициентов)

Механизм выбора по взвешенным показателям, или выбор на основе аддитивной функции полезности состоит в следующем: составляющим φ_i(a) вектор-функции φ(a)=(φ₁(a),….., φ_n(a)) приписываются веса (весовые коэффициенты) λ_i≥0, характеризующие их важность (полезность) с точки зрения ЛПР. Функция выбора образуется вариантами с максимальным значением суммы ∑ λ_i φ_i(a). Эта сумма часто трактуется как функция полезности, отсюда и второе название метода.