Классификация моделей исследования операций

Методы исследования операций базируется на использовании математических моделей для решения наиболее часто встречающихся управленческих задач

Количество всевозможных конкретных моделей почти так же велико, как и число проблем, для решения которых они разработаны. Наиболее распространенными типами моделей являются следующие:

• модели теории игр

• модели теории очередей или оптимального обслуживания

• модели управления запасами

• Модели линейного программирования

• методы экспертных оценок

4. Задача выбора как задача определения отношений на множестве альтернатив. Свойства отношений. Методы выявления и формализации отношений. Функция полезности, ее свойства и использование при принятии УР. Построение функции полезности. Метод анализа иерархий (метод Саати).

УР всегда является результатом выбора. Это может быть выбор из заданно­го множества альтернативных вариантов решения проблемы, из двоичного на­бора (предпринять что-либо или не предпринимать), из формируемого в про­цессе принятия УР множества вариантов. Последний случай представляет со­бой вариант принятия инновационного решения, когда множество вариантов формируется постепенно во времени. Момент окончания этого процесса опре­деляется имеющимися ресурсами принимающей решение системы, и при этом некоторые не принятые в качестве лучшей альтернативы могут быть потерян­ными в ходе дальнейшего анализа. Например, кандидат на вакантную долж­ность, не принятый на работу, может оказаться лучше пришедших после него, но он выпадает из множества рассматриваемых альтернатив, так как уже на­шел работу.

Выбор осуществляется ЛПР, который руководствуется при этом личными представлениями об отношениях между рассматриваемыми вариантами (аль­тернативами). У разных ЛПР в одной и той же ситуации и при одном и том же наборе вариантов представления об отношениях на этом наборе могут разли­чаться. Следовательно, и выбор может быть различным. При этом у каждого ЛПР имеются вполне рациональные обоснования сделанного выбора. Даже при одинаковом выборе у разных ЛПР могут быть разные обоснования. Таким об­разом, по известному выбору данного ЛПР в конкретной ситуации трудно сде­лать определенные выводы о причинах этого выбора, т. е. восстановить логику выбора. Не всякий выбор в конкретной ситуации может быть признан логически обоснованным при известных выборах в других ситуациях. Естественно возникает вопрос о возможности описания, формализации взаимной зависимо­сти выборов, осуществляемых ЛГТР во взаимосвязанных ситуациях, о рацио­нальности, предсказуемости выбора.

Выбор осуществляется лицом, принимающим решение на основе имею­щейся у него системы отношений на множестве вариантов выбираемых дейст­вий, объектов и т. п. Поэтому в основе процедуры выбора лежит понятие от­ношение, понимаемое как результат сравнения вариантов по степени выражен­ности в них совокупности некоторых свойств.

Таким образом, основой выбора является сравнение альтернатив. Оценка каждой отдельно взятой альтернативы, безотносительно к оценкам других, ни­какой роли не играет. Про ту или иную альтернативу нельзя сказать, плоха она или хороша, но можно сравнить ее с другими альтернативами, т.е. качество альтернатив выступает только как сравнительное качество, выражаемое отно­шением альтернатив.

Отношением R на множестве X называется подмножество R множества Х*Х, т. е. R X*X. Следовательно, задание R определяет, какие пары из множе­ства Х*Х находятся в отношении R. Если пара <х,у> входит в R, т.е. <х,y>€R, то пишут xRy, что читается: «х находится в отношении R с у». Для задания от­ношения <R,X> на множестве X надо указать все пары <x,у>€Х*Х, которые содержатся в R, т. е. пары <х,у>€Х*Х, для которых выполняется отношение R. Кроме непосредственного указания всех пар, для которых выполняется отно­шение R, существует 3 основных способа задания отношения: матрицей, гра­фом или сечением. От выбора способа задания отношения зависит способ опи­сания задачи выбора и способ представления требуемой информации.

Задание отношений матрицей широко используется в самых разных при­ложениях, например, для отображения результатов турниров по спортивным играм. Пусть X состоит из и элементов, пронумерованных целыми числами от 1 до п, R - отношение на X. Построим квадратную матрицу A(R) с размерами п*п, i-я строка которой соответствует i-му элементу множества X, обозна­чаемому как x_i, а j-й столбец j-му элементу, т. е. х_j. На пересечении i-й строки j-го столбца ставится 1, если выполнено x_iRx_j, и 0 - в противном случае. Обо­значив через A_ij элемент на пересечении i-й строки и j-го столбца, получим сле­дующее общее правило задания матрицы отношения R:

1, если выполнено x_iRx_j, (I,j=1,n).

A(R)= A_ij(R)= 0, если не выполнено x_iRx_j

Задание отношения в терминах графов и сечений при рассмотрении задач принятия решений практически не используется.

Свойства отношений

Отношение (R) - это результат сравнения вариантов по степени выраженности в них совокупности некоторых свойств.

Свойства отношений: A={a₁,a₂}

1. рефлексивность, если для него справедливо: xRx («быть похожим на», «стоить не больше»); в матрице A(R) рефлексивного отношения элементы главной диагонали равны единице.

2. антирефлексивность, если оно выполняется лишь для несовпадающих объектов («быть дороже», «быть братом»); в матрице антирефлексивного отношения на главной диагонали стоят нули.

3. симметричность, если оно включает в себя и обратное отношение

Если выполнено xRy, то выполнено и yRx («быть компаньоном»); матрица А(R) симметричного отношения R симметрична (A_ij=A_ji) для всех i,j.

4. асимметричность, для отношения характерна несправедливость, по меньшей мере, одного из двух выражений – xRy или yRx; в матрице А(R) асимметричного отношения А_ij(R)∩А_ji(R)=0 для всех i,j. Если отношение R асимметрично, то оно антирефлексивно.

5. транзитивность, отношение R транзитивное если:

a₁≥a₂

a₂≥a₃ → a₁≥a₃

xRy, yRz → xRz

В матрице А(R) транзитивного отношения R для любых i,j,k vⁿ_j=1(A_ij(R) _^A_ik(R))≤A_ik(R).

6. эквивалентность: отношение называется эквивалентностью, если оно рефлексивно, симметрично и транзитивно

a₁~a₂

7. нестрогое упорядочение (отношение нестрогого порядка) называется отношение, обладающее свойствами рефлексивности, антисиммитричности и транзитивности

a₁≥a₂

8. строгое упорядочение (отношение строгого порядка) называется отношение, обладающее свойствами антирефлескивности, асимметричности и транзитивнности

a₁>a₂

9. антисимметричность: xRy и yRx справедливы одновременно тогда, когда x=y; в матрице А(R) антисимметричного отношения А_ij(R)_^А_ji(R)=0, если i≠j.

10. отношение доминирования не обладает свойством транзитивности и ацикличности

a₁Da₂

a₂Da₃ → a₁Da

В основе рассмотренных отношений лежит представление о полезности объектов, причем областью значений функции полезности является множество действительных чисел. В тех случаях, когда каждый объект отношения характеризуется m показателями и определить полезность каждого варианта в виде одного действительного числа затруднительно, отношение между вариантами определяется отношениями между этими m показателями. Отметим два вида возникающих в этом случае отношений, широко используемых при принятии решений.

11. Пусть значения x_j, y_j значения j–го показателя вариантов x и y соответственно. Отношением Парето (Р) называется отношение:

[xPy]↔{(¥ j=1,m) [ x_j≥y_j] и (существует j €{1,….,m}) [x_j>y_j]}

Таким образом, объект х находится в отношении Парето с объектом y, если для всех пар показателей существует отношение нестрогого порядка и хотя бы для одной строгого

12. Пусть на множестве показателей задан линейный порядок, такой что k₁>k₂>…> k_m, где k_i-номер показателя на i-ом месте порядка.

Отношением лексикографии (L) называют отношение:

[xLy]↔ [ x_k1>y_k1] или [x_k1~y_k1и x_k2>y_k2] или … и [x=y]

Следовательно, объекты находятся в отношении лексикографии, если для первой пары показателей имеется отношение строгого порядка или для этой пары существует отношение эквивалентности и одновременно для второй пары имеется отношение строгого порядка.

Важным свойством отношений Парето и лексикографии является рациональность. Оно, в частности, означает, что из отношения xPy или xLy следует превосходство варианта x над вариантом y хотя бы по одному показателю.

Методы выявления и формализации отношений

Выявление отношений на множестве альтернатив осуществляет ЛПР или привлекаемый им специалист (эксперт) на основе своего представления о по­лезности сравниваемых вариантов.

Будем полагать, что для любого ЛПР на множестве альтернатив А сущест­вует система предпочтений в том смысле, что ЛПР умеет сравнивать между со­бой любые два элемента а, и а, из предъявленного множества. Это означает, что при сравнении двух указанных произвольных элементов для ЛПР имеет место всегда один из трех альтернативных вариантов суждения:

а) элемент а_i, предпочтительнее элемента а_j,

б) оба предъявленных элемента одинаково предпочтительны;

в) элемент а_j, предпочтительнее элемента а_i.

Случаи «а» и «б» означают, что если многократно предъявлять эти элемен­ты ЛПР, то его выбор среди них будет всегда однозначен (только первый - в случае «а», и только второй - в случае «в»).

При многократном предъявлении элементов в случае «б» ЛПР всегда отве­чает, что выбор одного из этих элементов ему безразличен. Других вариантов суждения, подобных высказываниям: «я не могу ничего сказать» или «я не знаю», не должно быть. При выполнении этого условия предпочтения ЛПР об­ладают свойством полноты. Кроме того, идеальные предпочтения ЛПР на предъявленном множестве элементов должны обладать свойством направлен­ности (транзитивности). Это означает, что если ЛПР последовательно сравни­вает три каких-то элемента попарно, т. е. первый и второй, а затем второй и третий и при этом, например, считает, что первый предпочтительнее второго, а второй — третьего, то при предъявлении ему первого и третьего элемента его вывод должен быть однозначен: «первый предпочтительнее третьего».

Наиболее употребительные методы выявления предпочтений: попарное сравнение, сортировка, ранжирование, балльное оценивание.

Попарное сравнение - наиболее простой и достоверный способ выявления элементарных предпочтений. Результаты попарного сравнения удобно пред­ставить в виде числовой матрицы, называемой матрицей парных сравнений.

Чаще всего при попарном сравнении ограничиваются простой констатацией того, что один из элементов предпочтительнее другого. В этом случае попар­ное сравнение есть измерение в номинальной шкале. Иногда удается выявить степень предпочтения, и тогда используют специальные шкалы, где каждой степени предпочтения присваивается определенная оценка (измерение в по­рядковой шкале). Однако первый случай более удобен и прост для ЛПР или эксперта. Чаще всего выбирают шкалу со значениями: 1 - отражает факт пред­почтительности одного элемента перед вторым, а 0,5 - факт равноценности этих элементов по предпочтительности. Тогда элементы матрицы парных сравнений S =// s_ij //_n*n„ имеют значения

1, если a_iRa_j,

s_ij= 0.5, если a₁ ~ a_j, (i,j=1,n)

0, если a_iRa_j.

В общем случае попарное сравнение не дает полного упорядочения вариан­тов, поэтому иногда, когда можно выявить степень предпочтения, используют порядковые или интервальные шкалы.

Существует достаточно большое число других способов выявления элемен­тарных предпочтений. Каждый из известных способов выявления предпочте­ний одновременно является представителем способов получения информации от ЛПР или экспертов, поэтому каждый из них обладает определенными точ­ностью, надежностью, оперативностью и др. Рассмотрим эти способы в поряд­ке увеличения точности измерения предпочтений и сложности получения ре­зультата. По этим характеристикам способы выявления элементарных сужде­ний о предпочтительности можно упорядочить следующим образом: сортиров­ка, ранжирование, балльное оценивание, попарное сравнение с градациями и выражение мнений субъективными вероятностями (для случаев принятия УР в условиях неопределенности).

Сортировка. ЛПР предъявляют исходное множество элементов, которые он должен разделить на некоторые классы. Например, множество возможных сценариев развития конъюнктуры на рынке в будущем году отнести к классам «благоприятные» (конъюнктура улучшится), «неизменные» (такие же условия на рынке, как и в текущем году) и «неблагоприятные».

Сортировка требует от ЛПР несколько большей подготовленности, чем в случае выявления предпочтений по методу простого попарного сравнения. Сортировка дает результаты в номинальной (классификационной) шкале.

Ранжирование — способ выражения предпочтений, заключающийся в рас­положении предъявленных элементов в порядке возрастания (так называемое прямое ранжирование) или убывания (обратное ранжирование) их предпоч­тительности. Каждому элементу в упорядоченном ряду приписывают нату­ральное число, называемое рангом элемента. В случае строгого ранжирования не допускается указывать на равноценность элементов, следовательно, каждый элемент занимает свое отдельное место в ранжированном ряду и приобретает свой уникальный ранг. При нестрогом ранжировании несколько элементов мо­гут занимать одинаковое место в ранжировке и получают одинаковый ранг. Та­кое ранжирование является измерением в порядковой шкале.

При количестве элементов, превышающем установленное психологами «магическое число Миллера» 7 + 2, целесообразно использовать метод парных сравнений, заполняя матрицу парных сравнений указанным ранее способом.

Ранг i-го элемента определяется суммой чисел в i-й строке, т. е. элемент с мак­симальной суммой получает 1-й ранг, и т. д.

Существует и другой способ ранжирования, основанный на попарном срав­нении, получивший название «медианный». Процедура ранжирования выпол­няется за ряд шагов. Вначале берут два любых элемента из множества и упоря­дочивают их. Затем берут третий элемент и сравнивают его с лучшим из пер­вых двух, уже упорядоченных; если новый элемент лучше лучшего, то его «размещают» в упорядоченном ряду на первом месте; если он хуже лучшего, то его сравнивают с худшим и таким образом определяют его место. Затем бе­рут следующий (четвертый) элемент и сравнивают его в паре с медианным элементом для построенного упорядоченного ряда из трех первых элементов, определяя «левый» или «правый» полуряд для дальнейшего уточнения места четвертого элемента и т. д. Элементарные суждения в виде результатов попар­ного сравнения, сортировки и ранжирования выражаются всегда в качествен­ных шкалах. Это определяет вид допустимых над ними математических преоб­разований, приводящих к осмысленным выводам. Промежуточную шкалу имеют балльные оценки.

Балльное оценивание заключается в том, что каждому элементу из мно­жества предъявленных ставят в соответствие число (балл), характеризующее его меру предпочтительности перед другими. Указанные числа (балльные оценки) выбирают из специальной балльной шкалы. Оценивание в балльной шкале рекомендуется проводить тогда, когда предпочтительность элемента ус­танавливается по строгим правилам, не допускающим неоднозначного толко­вания. При этом следует иметь в виду, что чем проще, размытее правила назна­чения баллов, тем ближе шкала балльных оценок (по своим свойствам и допус­тимым преобразованиям их значений) к порядковой. И наоборот, чем правила начисления баллов строже, точнее, детальнее, тем оценки в балльной шкале ближе по своим свойствам к интервальным.

Функция полезности, ее свойства

Выбор решения осуществляется ЛПР на основе имеющейся у него системы отношений на множестве вариантов выбираемых действий, объектов. Поэтому в основе процедуры выбора лежит понятие отношение, понимаемое как результат сравнения вариантов по степени выраженности в них совокупности некоторых свойств.

Определение отношений между вариантами возможно лишь в том случае, когда у ЛПР есть относительная оценка степени выраженности в каждом из этих вариантов некоторого свойства или совокупности свойств, которая и определяет отношение. Эту оценку часто обозначают термином полезность, которая возникает, например, при сравнении наборов товаров. Значение полезности или функции полезности на определенном наборе товаров выражает полезность или ценность этого товара для потребителя. В теории принятия решений наличие упорядочения среди альтернатив связывается с существованием на множестве А некоторой функции полезности и, такой что:

a_i <a_j ↔ u(a_i)<u(a_j);

a_i ~a_j ↔ u(a_i)=u(a_j), для всех А

При этом эффект выбора зависит только от сравнения выбранных вариантов со всеми остальными. Эффект выбора тем выше, чем лучше выбранные варианты.

Метод анализа иерархий

Метод анализа иерархий (МАИ) - Analytic Hierarchy Process (AHP) предложен американским ученым Т.Саати в 60^е годы. Суть метода состоит в формировании системы иерархии критериев и в агреги­рованном калькулировании оценок альтернатив, получаемых на различных уровнях иерархии с учетом относительной приоритетности критериев. Этот метод позволяет расчленить проблему на элементарные компоненты, что соот­ветствует познавательной манере мышления ЛПР, и учесть влияние не только количественных, но и качественных компонент.

В соответствии с МАИ процедура выбора состоит из нескольких этапов, на каждом из которых оцениваются некоторые отношения. В отличие от традици­онного способа оценки отношений в МАИ используется специальная шкала, характеризующая степень превосходства r_ij объекта а_i, над объектом a_j, при этом r_ji= 1/ r_ij . При равноценности, по мнению ЛПР, объектов а_i и а_j значения r_ij ⁼ r_ji = 1. В случае слабого превосходства объекта а_i над объектом a_j прини­мают r_ij = 3, a r_ji = 1/3. Если объект а_i существенно важнее объекта a_j то r_ij = 5 и r_ji = 1/5, явно важнее - r_ij = 7 и r_ji = 1/7, при абсолютном превосходстве r_ij = 9 и r_ji = 1/9. Допускается использовать и промежуточные (2, 4, 6, 8) значения r_ij и, соответственно, r_ji. Полученные оценки сводятся в матрицу R, для кото­рой находится собственное значение, компоненты которого λ_i вычисляются как корень n-й степени из произведения величин r_ij в строке i матрицы. Нор­мированные значения компонент собственного вектора λ_i, и являются оценка­ми важности объектов.

На первом этапе задача принятия УР представляется в виде иерархической структуры с несколькими уровнями: цели - показатели (критерии) - альтерна­тивы. На втором проводятся попарные сравнения элементов каждого уровня с учетом описанных правил оценки отношений. На третьем этапе вычисляются оценки важности элементов каждого уровня как компоненты собственного век­тора соответствующей данному этапу матрицы. Наконец, на четвертом этапе вычисляется количественная оценка каждого варианта УР и определяется луч­ший.

Рассмотрим пример использования МАИ. Имеются три варианта - а₁ а₂ и а₃ - размещения производственной площадки для создаваемого предприятия.

Для оценки вариантов используются три показателя —х₁, x₂ и х₃ Оценку полез­ности показателей назначенные ЛПР специалисты представили в виде табл. 1. Затем специалисты провели сравнение альтернатив по каждому показателю. Результаты этого сравнения представлены в табл. 2.

Таблица 1

	x1	x2	x3	λ	λ
x1	1	5	3	2.47	0.65
x2	1/5	1	3	0.848	0.22
x3	1/3	1/3	1	0.48	0.13

Таблица 2

По показателю х1
	a1	a2	a3	λ	λ
a1	1	7	3	2.76	0.69
a2	1/7	1	3	0.755	0.19
a3	1/3	1/3	1	0.48	0.12
По показателю х2
a1	1	1/7	1/5	0.31	0.07
a2	7	1	3	2.76	0.65
a3	5	1/3	1	1.18	0.28
По показателю x3
a1	1	5	5	2.93	0.68
a2	1/5	1	1/5	0.34	0.09
a3	1/5	5	1	1	0.28

Для сравнения альтернатив по всем показателям с учетом полезности по­следних проведем простые вычисления:

С(а1) = 0.65*0.69 + 0.22*0.07 + 0.13x*0.68 = 0.552;

С(а₂) = 0.65*0.19 + 0.22*0.65 + 0.13*0.09 = 0.278;

С(a₃) = 0.65*0.12 + 0.22*0.28 + 0.13*0.23 = 0.17.

Оценка величины С(а_i) оказалась лучше для первой альтернативы, которую и следует считать лучшей в соответствии с подходом МАИ.

Отметим один важный аспект МАИ, связанный с возможностью оценки транзитивности отношений на множестве альтернатив и, следовательно, суж­дения о рациональности мнений участников процедуры. Если исходить из того, что степень превосходства объекта а_i над объектом а_j r_ij = 3, а степень превос­ходства объекта a_j над объектом а_k r_jk = 5, то следует ожидать, что r_ik = r_ij * r_jk.. В нашем примере r_ik =15, такой количественной оценки степени превосходства в предложенной Т. Саати шкале нет, но ее смысл понятен - она характеризует абсолютное превосходство объекта а_i над объектом а_к. Очевидно, что при ра­циональных оценках специалистов они должны оценить r_ik именно таким тер­мином. Более того, если исходить из предположения о рациональности полу­чаемых от специалистов оценок, можно ограничиться получением от них ин­формации для заполнения только одной, например первой, строки табл.1. Значения r_jk в остальных строках можно получить на основе соотношения r_jk = ⁼ r_1k/r_1j взятых из первой строки, что значительно упростит процедуру полу­чения информации от специалистов.

Метод анализа иерархий из процедуры парных сравнений. То есть в клетках таблицы парных сравнений надо отражать не просто значения лучше/хуже/эквивалентно, а отражать с помощью специальной шкалы. Он также предложил и некоторую шкалу оценки:

1 – объекты одинакового значения

3 - один объект не много важнее другого или есть основание предпочесть один, но оно не является основным

5 – объект i существенно важнее другого j-го

7 – объект i явно важнее j-го

9 - объект i абсолютно важнее j-го

	а1	а2	а3
а1
а2	r
а3

r_ij=1/r_ji

Если r_ij=3, то r_ji=1/3.

Для использования оценок 2,4,6,8 надо тонко чувствовать границы оценок объектов.

5. Условия риска и неопределенности при принятии УР. Принцип Байесса. Дерево решений и его сворачивание. Критерии Вальда (критерий гарантированного результата), Сэвиджа (минимального сожаления), Бернулли – Лапласа, Гурвица.

Проблемы принятия решений в условиях риска и неопределенности

Мы всегда принимаем решение в ситуации риска и неопределенности. Процедуры принятия решения различны.

Риск – это вероятность события, полученная на реальной объективной статистике.

Эта ситуация встречается на практике наиболее часто. Здесь пользуются вероятностным подходом, предполагающим прогнозирование возможных исходов и присвоение им вероятностей. При этом пользуются:

1. известными типовыми ситуациями

2. предыдущими распределениями вероятностей

3. субъективными оценками, сделанными аналитиками самостоятельно либо с привлечением группы экспертов

Последовательность действий аналитика такова:

• прогнозируются возможные исходы

• каждому исходу присваивается своя вероятность

• выбирается критерий (максимизация прибыли)

• выбирается вариант, удовлетворяющий данному критерию

Неопределенность – это субъективная оценка события (вероятность). Основная трудность здесь состоит в том, что невозможно оценить вероятности исходов. Основной критерий максимизации прибыли здесь не срабатывает, поэтому применяют другие критерии:

• минимакса (минимизация максимальных потерь)

• максимина (максимизация минимальной прибыли)

• др.

Лотерея как модель ПР в условиях риска и неопределенности

Лотерея – это некое действие, которое может иметь различные исходы, является случайным, несовместным событием.

∑ p_i=1

u=∑ p_i*u(a_i) – полезность лотереи

p_i - вероятность возможных исходов

a_i - возможные исходы

u(a_i)= a_i*p_i - полезность исхода

Лотерея может быть и более сложной:

События называется несовместными, если появление одного из них исключает появление других событий в одном и том же испытании.

Парадоксы выбора в условиях риска

Эффект (парадокс Алле)

Француз Мишель Алле обнаружил, что даже если известны возможные исходы (а) и их вероятности (р), люди принимающие решение ведут себя очень нерационально.

Он предложил своим подопытным людям принять решение:

1.

Его группа предпочла х₁> х₂.

Дальше он предложил другой вариант:

2.

Группа выбрала х₃> х₄.

u (5 млн.)=1

u (0)=0

u (1 млн.)=u

1. х₁> х₂ u>0,1*1+0,89*u

Проведя расчеты, получим u>10/11

2. х₃> х₄ 0,1*1>0,11*u

Проведя расчеты, получим u<10/11

Задача генерала

Генерал проиграл сражение и отступает, у него 600 человек.

1.

1 дорога>2 дороги

2

2 дорога>1дороги

Принцип Байеса (представление задачи ПР в условиях риска и неопределенности в виде таблицы решении)

Принятие УР в условиях риска и неопределенности предусматривает учет возможных воздействий случайных факторов при анализе последствий принимаемого УР. Учет действия случайных факторов на результаты принимаемых УР может быть осуществлен различными методами. Будем считать, что совокупность случайных факторов проявляется в возможности реализации одной из нескольких возможных ситуаций. Представим условия принятия УР в виде таблицы решений. Результаты реализации i–го варианта УР в случае j–й ситуации оцениваются полезностью U_ij.

Таблица решений

P₁ P_j P_m

Вариант	Ситуация
	S1	…	Sj	…	Sm
a1
…
ai	еi1 (Ui1)		еij		eim
an

а – действия

S – условия

е_ij (U_ij)- эффект(полезность)

Для выбора оптимального варианта УР могут быть использованы различные критерии (правила). Часть из них ориентирована на использование информации о вероятности р_j возникновения ситуаций S_j, другая исходит из отсутствия такой информации. К критериям первой группы относится, в первую очередь, критерий Байеса, в соответствии с которым следует выбирать вариант УР с максимальным значением математического ожидания полезности М [U_i]=p_j*U_ij. или Е(а_i)=∑pj*eij – эффект (принцип Байеса)

Пример

Есть ситуация, сценарий развития ее событий развивается под действием некоторых случайных факторов, имеющих некоторую вероятность.

р=0,2

S₁P₁ e₁₁ р=0,5

• S₂P₂ e₁₂ р=0,3

Таблица решений

Вариант УР	Нормированные значения полезности вариантов УР в ситуации
	1	2	3
1	0,65	0,56	0,6
2	0,42	0,66	0,98
3	0,56	0,68	0,74

Лучшим в смысле Байеса является вариант 2.

Как быть, в случае, если есть несколько возможных ситуаций, несколько вариантов действий в этих ситуациях, а возможные прибыли и убытки известны?