- •Поволжская государственная академия телекоммуникаций и информатики Кафедра торс
- •«Основы теории цепей (часть III)»
- •Содержание
- •1. Теория двухполюсников в эц 4
- •2. Теория четырехполюсников 14
- •3. Теория электрических фильтров. 25
- •4. Искажения в эц при передаче сигналов и их корректирование 66
- •5.Мостовые реактивных фильтры 72
- •6.1. Общие понятия 81
- •6.4.1. Общие понятия 83
- •1. Теория двухполюсников в эц
- •1.1. Введение в теорию двухполюсников
- •1.2. Операторное сопротивление двухполюсника и его свойства
- •1.3. Реактивные двухполюсники
- •1.3.1.Простейшие реактивные двухполюсники
- •1.3.2. Теорема Фостера о сопротивлении реактивного двухполюсника
- •1.3.3. Канонические схемы Фостера
- •1.3.4. Канонические схемы Кауэра
- •1.3.5. Понятие о синтезе электрических цепей
- •1.3.6. Виды соответствия двухполюсников
- •2. Теория четырехполюсников
- •2.1. Основные понятия и классификация четырехполюсников
- •2.2. Основные характеристики четырехполюсников
- •2.3. Системы параметров. Матричные параметры чп
- •2.4. Сложные четырехполюсники. Виды соединений чп
- •2.5. Рабочие параметры чп
- •2.6. Характеристические параметры четырехполюсника
- •2.7. Каскадное согласованное включение четырехполюсников
- •2.8. Рабочая мера передачи
- •Расчет и измерение рабочего ослабления
- •Связь рабочего и характеристического ослаблений
- •3. Теория электрических фильтров.
- •3.1. Общие понятия
- •3.2. Классификация частотно – избирательных электрических фильтров
- •3.3. Лестничные реактивные фильтры
- •3.5. Фильтры типа m
- •3.5.1. Общие понятия
- •3.5.2. Последовательно-производный фнч типа m(полузвено)
- •0 Для определения ωС запишем
- •3.5.3. Параллельно-производное полузвено типа m (на примере фнч)
- •3.5.4.Фвч типа m
- •3.6. Построение сложных фильтров на основе звеньев типа k и m
- •3.7. Проектирование фильтров по характеристическим параметрам
- •3.8. Проектирование фильтров по рабочим параметрам
- •Этапы синтеза электрических фильтров по рабочему ослаблению.
- •3.8.1. Функция фильтрации
- •3.8.2. Фильтры Баттерворта
- •3.8.3. Полиномиальные фильтры Чебышева
- •3.8.4. Сравнение фильтров Баттерворта и Чебышева
- •3.8.5. Фильтры со всплесками ослабления (на основе дробей Чебышева и Золотарева)
- •3.9. Методики реализации схем фильтров
- •3.9.1. Лестничные полиномиальные lc-фильтры
- •3.9.2. Реализация фильтров верхних частот, полосовых и заграждающих фильтров
- •3.9.3. Денормирование по сопротивлению, по частоте при расчете величин элементов
- •Ускоренный метод синтеза схем фильтра по Попову
- •Ускоренный метод реализации симметричных фильтров (n-нечетное)
- •Ускоренный метод реализации симметричных фильтров (n-четное)
- •3.10. Расчёт частотных характеристик фильтра
- •Расчет временных характеристик на эвм
- •4. Искажения в эц при передаче сигналов и их корректирование
- •4.1. Искажения сигнала в эц
- •4.2. Корректирующие цепи (корректоры). Общие положения.
- •4.3. Принцип корректирования амплитудно-частотных искажений (ачи)
- •4.4. Стандартные схемы амплитудных корректоров
- •4.5. Фазовые корректоры
- •5.Мостовые реактивных фильтры
- •5.1 Теорема о мостовых реактивных фильтрах
- •5.2 Резонаторы и резонаторные фильтры
- •Пьезоэлектрические резонаторы и фильтры
- •5.3. Модернизированная мостовая схема
- •5.4. Широкополосные пьезоэлектрические фильтры
- •Аналоги мостовых полосовых и режекторных фильтров с резонаторами
- •Вилки активных фильтров с пьезоэлектрическими резонаторами
- •5.5. Магнитострикционные фильтры
- •5.4. Электромеханические фильтры
- •6.1. Общие понятия
- •6.2. Различные виды rc – фильтров
- •6.2.1. Фильтры фнч
- •6.2.2 Фильтры фвч
- •6.2.3 Полосовые фильтры
- •6.3. Недостатки rc – фильтров
- •6.4. Активные rc – фильтры (аrc)
- •6.4.1. Общие понятия
- •6.4.2. Недостатки аrc – фильтров с имитацией индуктивностей. Принцип позвенной реализации
- •6.4.4. Фильтры на преобразователях с комплексными коэффициентами
- •6.4.5. Схема реализации полосового фильтра второго порядка на преобразователях
- •2. Синтез arc-фильтров.
- •2.4 Денормирование рабочей передаточной функции.
- •2.5 Выбор схемы arc-фильтра и расчёт его элементов.
- •2.6. Расчёт рабочего ослабления фильтра.
3.8.3. Полиномиальные фильтры Чебышева
Если в качестве функции фильтрации в формулах (1) и (2) использовать полином Чебышева, обозначаемый , то формулы примут вид:
, (5) где - полином Чебышева степени (порядка) m;
ε – коэффициент неравномерности ослабления, определяемый по формулам (3) или (4).
Фильтры с данными частотными характеристиками называются фильтрами Чебышева. Проанализируем частотные характеристики фильтра Чебышева. Для этого вначале рассмотрим свойства полиномов . Ниже приведены шесть первых полиномов Чебышева:
Любой полином Чебышева при может быть вычислен по рекуррентной формуле: . Таким образом, выражения (5) удовлетворяют общим выражениям характеристик полиномиальных фильтров и при Ω > 1 значения полиномов резко возрастают.
Существует единая тригонометрическая форма записи полиномов Чебышева в интервале :
(6)
Вне этого интервала полиномы также представляются в тригонометрической форме:
(7)
Анализ поведения полиномов Чебышева показывает, что в интервале угол изменяется от –π до π, поэтому полином ровно m раз принимает значения, равные нулю, и m+1 раз достигает значений, равных +1 или -1 и чередующихся друг с другом. Вне интервала полином монотонно возрастает быстрее всех других полиномов такого же порядка.
Рабочее ослабление фильтра Чебышева на тех частотах , где полином обращается в нуль, также обращается в нуль. На частотах, на которых равен , рабочее ослабление достигает величины:
.
С ростом значений полинома на частотах рабочее ослабление также монотонно растет. Приведем для примера график рабочего ослабления фильтра Чебышева четвертого порядка: При нечетном n график ослабления начинается с 0, при четном с
Армах=ΔА. Количество экстремумов в ПП с учетом граничной частоты равноn+1. .
Фильтры Чебышева называют также фильтрами с равноволновой характеристикой ослабления в полосе пропускания.
Чтобы характеристики фильтра отвечали требованиям в полосе непропускания, необходимо выбрать порядок фильтра m из условия . Для полосы непропускания определяется формулой (7), следовательно, . Проведя ряд преобразований получим: . В этой формуле величина измеряется в неперах. При использовании единицы децибел порядок фильтра вычисляется из выражения:
Для формирования рабочей передаточной функции по Чебышеву поступаем аналогично выше изложенному :
определяется корнями уравнения , лежащими в левой полуплоскости:
,
где .
Таким образом,
3.8.4. Сравнение фильтров Баттерворта и Чебышева
Сравнивая частотные характеристики фильтров Баттерворта и Чебышева, следует указать, что полиномы Чебышева являются полиномами наилучшего приближения. Это означает, что при одинаковом значении m из всех полиномиальных фильтров, ослабления которых в полосе пропускания не превышают , наибольшие значения ослабления в полосе непропускания имеет фильтр Чебышева. В частности, рабочее ослабление фильтра Чебышева в полосе непропускания может превышать (и весьма значительно) рабочее ослабление фильтра Баттерворта при равных значениях m и .При заданных требованиях по ослаблению в ПН фильтр Чебышева может иметь меньший порядок чем у Баттерворта. Однако характеристика рабочего ослабления фильтра Баттерворта имеет в полосе пропускания монотонный характер и легче поддается корректированию для устранения искажений передаваемых сигналов. Фильтр Баттерворта из за этого более прост в настройке и изготовлении. Так же у него более линейна фазовая характеристика.