50 Рівнянь руху точки в центрально-симетричному полі.

До поняття центрально-симетричного поля в механіці приходять у зв'язку з розглядом взаємодії двох матеріальних точок. Спочатку в цьому випадку треба розглянути рух однієї (зображуючої) точки з приведеною масою під дією сили взаємодії між точками в системі відліку з нерухомим центром мас, тобто рух матеріальної точки в центрально-симетричному полі, а потім перейти до руху кожної точки.

Раніше встановлено, що під дією внутрішніх сил центр мас системи рухається рівномірно і прямолінійно. Зв'яжемо з ним деяку систему відліку, яка є інерціальною, і в ній розглядатимемо рух зображуючої точки під дією центральною сили, яка залежить тільки від відстані між точками, тобто ; аналогічний вираз і для потенційної енергії U = U (r).

Оскільки вектор моменту імпульсу = m'[ ] зберігається у разі центральної сили по модулю і напряму, то вусі r лежати в одній площині, тобто траєкторією є плоска крива, поэто-му у зображуючої точки два ступені свободи, і для випадку цент-рального поля доцільний вибір полярних координат в площині руху з качаном в центрі мас. У них інтеграл моменту імпульсу має вигляд :(27.2), а інтеграл енергії запишеться формулою (27.3)

В принципі ці два диференціальні рівняння першого порядку відносно невідомих функцій r(t) і 𝜑(t) і вичерпують завдання про рух точки в центрально-симетричному полі. Для їх вирішення досить підставити відоме значення L з допомогою (27.2) в (27.3), щоб отримати рівняння зі змінними, що розділяються: (27.4)

Перший член в цьому рівнянні представляє кінетичну енергію при радіальному русі точки, яка завжди позитивна. Другий член тепер не містить швидкості і називається центробіжною потенційною енергією. Таким чином, потенційна енергія може вважатися такою, що складається з двох частин: (27.5)

Вираз (27.5) прийнято називати ефективним потенціалом. Він може бути позитивним, негативним і нулем залежно від співвідношення модулів відцентрового і звичайного потенціалу і від знаку потенціалу U(r). Використовуючи позначення Ue, знаходячи з (27.4) і розділяючи змінні в рівнянні (27.4), отримуємо інтеграл рівняння руху :t= (27.6)

Якщо обчислити інтеграл (27.6), то при будь-кому заданому U(r) знайдеться одне кінематичне рівняння руху точки r = r(t). Аналогічно виходить інше рівняння з (27.2) , що при знайденому r(t) дає можливість отримати 𝜑(𝑡). Завдання про рух точки в центральному полі U(r) вирішене: напрям вектора моменту імпульсу дозволяє встановити площину, в якій рухається точка, а його модуль, - значення енергії і початкове положення точки - вибрати необхідне часткове рішення (27.6) і (27.7). Неважко в загальному вигляді отримати і рівняння траєкторії. Для цього з рівності (27.6) визначимо dt і підставимо в (27.2), після чого отримаємо, розділяючи змінні і інтегруючи:

Наявність двох знаків пов’язана з симетрією траєкторії, яка видно в конкретних випадках

51.Закони Кеплера

На початку XVII ст. Кеплером були встановлені кінематичні закони руху планет на підставі узагальнення наявних результатів астрономічних спостережень.

Перший закон. Кожна з планет рухається по еліпсу, в одному з фокусів якого знаходиться Сонце. Необхідно тільки відзначити, що з урахуванням руху Сонця фокус еліпса планети співпадає не з центром Сонця, а з центром мас системи.

Другий закон. Радіус-вектор планети в рівні проміжки часу описує рівні площі.

Третій закон. Квалрат переоду обертання планети навколо сонця прямопропорційний кубу довжини великої півосі еліпса. Виведемо його, використовуючи формулу . Маємо: