31. Теорема про зміну імпульсу системи. Закон збереження імпульсу.

Теореми для системи матеріальних точок зручно отримувати, узагальнюючи розглянуті раніше відповідні теореми для однієї матеріальної точки. Теорему про зміну імпульсу матеріальної точки напишемо для кожної і-тої точки системи,розділяючи сили на внутрішні та зовнішні: . Просумувавши рівняння, отримаємо: . Зліва під знаком похідної стоїть імпульс системи, а права частина рівності являє собою суму головних векторів зовнішніх і внутрішніх сил. Але головний вектор внутрішніх сил дорівнює нулю. Вводячи скорочені позначення, отримані рівняння перепишемо у вигляді

Ми прийшли до теореми про зміну імпульсу системи матеріальних точок, яку можна сформулювати так: похідна за часом імпульса системи дорівнює головному вектору зовнішніх сил, діючих на точки системи.

Формулі можна надати інший вигляд, якщо імпульс системи виразити через імпульс центру мас системи: . Формулу називають теоремою про рух центру мас: центр мас системи рухається як точка, в якій зосереджена вся маса системи і до якої прикладено головний вектор зовнішніх сил, що діють на точки системи.

З формули виплива закон збереження імпульсу системи: якщо головний вектор зовнішніх сил дорівнює нулю, то вектор імпульсу, системи залишається постійним: Проектуючи векторнy рівність на вісі координат, отримаємо три перших інтеграла руху системи:. Ці інтеграли, як і для однієї матеріальної точки, можуть існувати одночасно всі три, два чи один.

Для замкнутої механічної системи зовнішні сили відсутні, тому для замкнутих систем виконується закон збереження імпульсу. Центр мас системи рухається по інерції, тобто рівномірно і прямолінійно. (Тому центр мас і називають центром інерції.)

Завдяки зазначеній властивості руху особливе значення набуває система відліку з початком у центрі мас. Вона рухається поступально у вихідній інерціальній системі і є інерціальною, а рух матеріальних точок у ній виглядає простіше, ніж в інших системах відліку.

Внутрішні сили, що діють в замкнутій системі, можуть змінювати відносні швидкості окремих матеріальних точок, але ці зміни завжди будуть такими, щоб загальний імпульс залишається незмінним за величиною і напрямком. Це незмінне значення імпульсу системи визначається початковими умовами руху її точок.

32. Теорема про зміну моменту імпульсу системи. Закон збереження моменту імпульсу.

Теорему про зміну моменту імпульсу ми можемо написати для кожної точки, що входить в систему матеріальних точок. При цьому врахуємо, що сили розділяться на зовнішні і внутрішні. Якщо ввести короткі позначення для моментів усіх сил, рівняння будуть мати вигляд: Підсумувавши їх, отримаємо:. Зліва під знаком похідної стоїть момент імпульсу системи, а права частина рівності представляє головні моменти зовнішніх і внутрішніх сил. Але головний момент внутрішніх сил дорівнює нулю, тому

Ми отримали теорему про зміну моменту імпульсу системи матеріальних точок, яку можна сформулювати так:похідна моменту імпульсу системи по часу дорівнює головному моменту зовнішніх сил, що діють на точки системи. Теорема про зміну моменту імпульсу дозволяє визначити його умови збереження. Закон збереження моменту імпульсу : якщо геометрична сума моментів усіх зовнішніх сил, діючих на точки системи, дорівнює нулю, то вектор моменту імпульсу системи залишається величиною сталою

Для замкнених систем закон збереження моменту імпульсу завжди виконується. Під впливом внутрішніх сил моменти імпульсу окремих точок або частин системи змінюються, але ці зміни обов'язково компенсуються змінами моментів імпульсу інших точок і частин тієї ж системи.

Проектуючи векторний вигляд формули закону збереження моменту імпульсу на осі координат, отримаємо три перших інтеграла руху: Для незамкненої системи, де момент не зберігається в цілому, одна з проекцій головного моменту зовнішніх сил може перетворитися в нуль. Тоді має місце один з перших інтегралів руху: зберігається та проекція моменту імпульсу, для якої перетворюється в нуль проекція головного моменту зовнішніх сил. Наприклад,

При переході до системи центру мас момент імпульсу перетвориться за формулою :

Якщо система замкнута, то остання формула виражає перетворення моменту імпульсу при переході від однієї інерціальної системи до іншої. Обидві складові моменту тоді зберігаються окремо.

33. Теорема про зміну кінетичної енергії системи матеріальних точок.

Напишемо рівняння теореми для кожної точки системи, виділивши в правій частині рівняння суму робіт заданих сил і сил реакції: .

Потім врахуємо, що для системи задані сили і сили реакції зв’язків розпадаються на зовнішні та внутрішні; покажемо це в рівнянні: .

Під знаком диференціала в лівій частині цієї рівності знаходиться кінетична енергія системи, а права частина являє собою суму елементарних робіт заданих сил і сил реакцій (зовнішніх і внутрішніх). Введемо скорочені позначення і розглянуту рівність перепишемо у вигляді: .

Теорема про зміну кінетичної енергії системи матеріальних точок: диференціал кінетичної енергії системи дорівнює сумі елементарних робіт сил, що діють на точки системи. При ідеальних зовнішніх зв'язках робота зовнішніх сил реакцій дорівнює нулю: .

Теорема про зміну кінетичної енергії дозволяє визначити умови збереження повної механічної енергії; ці умови названі на законі збереження енергії: якщо всі сили, що діють на точки системи, є потенційними і стаціонарними, то повна механічна енергія системи залишається величиною постійною. Доведемо затвердження закону.

Насамперед зазначимо, що мова йде або про вільну систему, або про систему з ідеальними зв'язками, тобто виходимо з формули. Якщо задані зовнішні і внутрішні сили є потенціальними і стаціонарними, то для кожної точки виконуються умови , де- потенціальна енергія точки в полі системи, a - у зовнішньому полі .

Тоді для системи матеріальних точок елементарна робота зовнішніх сил може бути обчислена: , де - потенційна енергія системи у зовнішньому силовому полі.

Усередині системи на кожну точку діють потенційні сили з боку всіх інших, причому їх рівнодія знаходиться як градієнт (за координатами цієї точки) від потенціальної енергії системи, яка визначається формулою . Звідси випливає, що робота, що здійснюються внутрішніми силами над -ю точкою, виражається формулою . Підсумовуючи елементарні роботи по всіх точках системи, отримуємо: . Отримані вирази елементарних робіт підставимо в рівняння теореми про зміну енергії : , звідки випливає: , .Ми отримали закон збереження повної механічної енергії системи в разі потенційних сил, причому повна механічна енергія дорівнює сумі енергій кінетичної, зовнішньої потенційної та внутрішньої потенційної: . Закон збереження повної механічної енергії виражає перший інтеграл руху, який називається інтегралом енергії.

Для замкнутої системи з потенційними силами (вільної або з ідеальними зв'язками) повна механічна енергія зберігається: . Кінетична енергія системи матеріальних точок може бути представлена за теоремою Кеніга у вигляді суми енергії поступального руху і енергії внутрішнього руху . Відповідно до цього в повній механічнії енергії системи, яка визначається формулою , можна виділити внутню механічну енергію, що представляє собою суму енергій внутрішньої кінетичної і внутрішньої потенційної: . Внутрішня механічна енергія системи в загальному випадку не зберігаються, але для замкнутої системи з потенційними силами має місце збереження, так як постійна повна енергія і постійна її частина - енергія поступального руху. Cистеми, які зберігають повну механічну енергію називаються консервативними.