Тема 3. Системы линейных алгебраических уравнений.

1. Системы линейных алгебраических уравнений.

Системой линейных алгебраических уравнений с неизвестными называется совокупность уравнений

(1)

относительно искомых величин ; коэффициенты системы , свободные члены и неизвестные суть числа из одного и того же поля ( или ). Если при подстановке чисел во все уравнения (1) вместо все эти уравнения обращаются в тождества, то совокупность таких чисел называется решением системы (1). Система уравнений (1) называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение ; если же система не имеет ни одного решения, то она называется несовместной. Кроме вопроса о существовании решений у системы (1) нас будет интересовать, единственно ли найденное решение.

Введем матрицу коэффициентов системы (1): ( называется основной матрицей системы). Неизвестные и свободные члены будем записывать в виде векторов-столбцов: , . Тогда систему линейных алгебраических уравнений (1) можно коротко записать в виде . Ту же систему можно представить и в виде , где – векторы-столбцы матрицы , . Нас интересует ответ на вопрос: является ли вектор-столбец линейной комбинацией векторов-столбцов ? Или, что то же самое, принадлежит ли линейной оболочке ? Если существуют такие , что , т.е. , то следующим будет вопрос: является ли такое разложение вектора-столбца по системе векторов-столбцов единственным; в случае неединственности решений надо описать множество всех решений системы (1). Мы увидим, что ответы на поставленные вопросы достаточно просты и допускают геометрическую интерпретацию.

В процессе построения решений системы (1) эту исходную систему приходится преобразовывать; при этом важно сохранить множество ее решений. Две системы линейных алгебраических уравнений с одинаковым числом неизвестных называются эквивалентными, если множества всех их решений совпадают.

Теорема 1. Если – невырожденная -матрица, то системы и эквивалентны.

Доказательство. Пусть – решение системы , т.е. . Тогда, очевидно, .

Пусть теперь – решение второй системы, т.е. . В силу невырожденности матрицы существует обратная к ней матрица . И тогда , что означает .

2. Системы с невырожденной квадратной матрицей.

Рассмотрим частный случай: .

Теорема 2. Пусть , и основная матрица системы (1) не вырождена. Тогда система (1) совместна, и ее решение единственно.

Доказательство. Из невырожденности матрицы вытекает существование обратной к ней матрицы . Тогда из имеем , т.е. . Очевидно, что других решений нет: если еще , то , , .

Если – квадратная невырожденная матрица, то , где – матрица, присоединенная к . составлена из алгебраических дополнений к элементам матрицы и транспонирована. Поэтому для всех . Это можно записать в виде , где матрица получается из матрицы заменой ее -го столбца на вектор-столбец ее свободных членов . Такой способ построения решений называется правилом Крамера.

3. Критерий совместности системы. Общее решение. Критерий единственности решения.

Припишем к основной матрице системы (1) вектор-столбец ; полученную -матрицу называют расширенной матрицей системы (1): .

Теорема 3. (Теорема Кронекера-Капелли). Система линейных алгебраических уравнений (1) совместна в том и только в том случае, если .

Доказательство.

Необходимость. Совместность системы означает, что существуют числа , для которых справедливо равенство . То есть, вектор-столбец является линейной комбинацией векторов-столбцов матрицы . Поэтому .

Достаточность. Пусть . Выберем в матрице какой-либо ее базисный минор. Тогда этот же минор является базисным минором матрицы . Поэтому вектор-столбец можно представить в виде линейной комбинации всех векторов-столбцов матрицы . Коэффициенты этой линейной комбинации образуют решение системы (1).

Выберем в матрице какой-либо ее базисный минор. Ради удобства перенумеруем неизвестные и свободные члены , и переставим уравнения (1) так, чтобы матрица выбранного минора оказалась в левом верхнем углу основной матрицы системы. Короче говоря, будем считать, что , где . В этом предположении рассмотрим наряду с системой (1) систему

(2)

состоящую только из первых уравнений системы (1).

Теорема 3. Системы (1) и (2) эквивалентны.

Доказательство. Обе системы содержат одинаковое число неизвестных.

1. Если система (1) совместна, то, очевидно, любое ее решение является решением и системы (2) – части системы (1).

2. Докажем, что если система (2) совместна, то любое ее решение является решением и системы (1). В расширенной матрице системы (1) первые строк базисные. По теореме о базисном миноре все остальные ее строки суть линейные комбинации этих базисных строк. Поэтому в системе (1) каждое уравнение, начиная с -го, представляет собой линейную комбинацию первых уравнений. Следовательно, каждое решение первых уравнений обращает в тождество все остальные уравнения.

3. Если система (2), являющаяся частью системы (1), несовместна, то и вся система (1), очевидно, несовместна.

4. Если система (1) несовместна, то и система (2) несовместна: иначе мы получили бы противоречие с доказанным в пункте 2. 

Замечание. Если , то (1) совпадает с (2) и имеет единственное решение как система с квадратной невырожденной матрицей (см. теорему 2). Если , то назовем главными неизвестными, а – свободными неизвестными. Запишем в этом случае систему (2) в виде

.

Придадим свободным неизвестным произвольные значения . Тогда относительно получим систему уравнений

(3)

с квадратной невырожденной матрицей. Система (3) имеет единственное решение . Ясно, что является решением системы (2), а в силу теоремы 3 – и решением системы (1). Как видно, в случае обе системы имеют бесконечно много решений: можно выбрать произвольно.

Легко видеть, что все решения системы (2) получаются из (3) при некоторых . Действительно, если – решение (2), то взяв в качестве значений свободных неизвестных именно компоненты этого решения , мы получим из (3) в силу однозначной разрешимости системы (3).

Итак, в случае множество всех решений системы (1) содержит произвольно меняющихся свободных неизвестных. При любом выборе значений этих свободных неизвестных значения остальных неизвестных определяются однозначно. Множество всех решений системы (1) является -параметрическим семейством и содержит все частные решения системы (1). Такое множество называется общим решением системы (1).

Следствие. Система уравнений (1) с неизвестными имеет единственное решение в том и только в том случае, если . (Докажите самостоятельно.)

Система уравнений называется однородной . Она совместна: – тривиальное решение. (Решение называют нетривиальным.)

Теорема 4. Однородная система с неизвестными имеет нетривиальное решение в том и только в том случае, если . (Докажите самостоятельно.)

Теорема 5. Однородная система с квадратной матрицей имеет нетривиальное решение в том и только в том случае, если . (Докажите самостоятельно.)