3. Основи теорії катастроф та елементи теорії надійності. Приклади їх застосування.

Теорія катастроф - розділ математики, що включає в себе теорію біфуркацій диференціальних рівнянь (динамічних систем) і теорію особливостей гладких відображень.

Терміни «катастрофа» і «теорія катастроф» були введені Рене Томом (René Thom) і Крістофером Зіманов (Christopher Zeeman) наприкінці 1960-х - початку 1970-х років («катастрофа» в даному контексті означає різке якісна зміна об'єкту при плавному кількісному зміну параметрів, від яких він залежить). Однією з головних задач теорії катастроф є отримання так званої нормальної форми досліджуваного об'єкта (диференціального рівняння або відображення) в околиці «точки катастрофи» і побудована на цій основі класифікація об'єктів.

Теорія катастроф знайшла численні застосування в різних областях прикладної математики, фізики, а також в економіці.

Теорія надійності - наукова дисципліна, в якій розробляються і вивчаються методи забезпечення ефективності роботи об'єктів (виробів, пристроїв, систем і т.п.) у процесі експлуатації. У теорії надійності вводяться показники надійності об'єктів, обгрунтовують вимоги до надійності з урахуванням економічних та інших факторів, розробляються рекомендації щодо забезпечення заданих вимог до надійності на етапах проектування, виробництва, зберігання і експлуатації.

Теорія наді́йності (рос. надежность, англ. reliability, нім. Betriebssicherheit f, Zuverlässigkeit f) — властивість технічних об'єктів зберігати у часі у встановлених межах значення всіх параметрів, необхідних для виконання технічних (технологічних та ін.) функцій в заданих режимах і умовах застосування. Під техн. об'єктами розуміють пристрої, прилади, механізми, машини, комплекси обладнання, буд. конструкції і споруди, технол. операції і процеси, системи зв'язку, інформаційні системи, автоматизов. системи управління технол. процесами тощо. Методи теорії і практики надійності базуються на застосуванні апарата теорії імовірностей і випадкових процесів, математичної статистики, моделювання.

Параметри надійності

1. Закон розподілу ресурсу — ймовірність відмови Q(t)

2. Ймовірність безвідмовної роботи P(t)=1-Q(t)

3. λ(t) — інтенсивність імовірності відмови — це питома умова ймовірність відмови на нескінченно малому проміжку від t до t+Δt при умові що на проміжку часу від 0 до t відмови не було.

4. Щільність імовірності відмови, по закону:

   1. Гаусса:

   2. Експонентному:

   3. Вейбула

   4. Релея

5. Мат очікування (середній ресурс)

6. Дисперсія часу до відмови

У ході розвитку техніки виникають нові аспекти проблеми забезпечення надійності. Так, наприклад, впровадження великих інтегральних схем вимагає принципово нових методів розрахунку їх Надійність, застосування систем автоматизованого контролю призводить до необхідності врахування його впливу на показники надійності і т.д. Наука про надійність виникла на стику ряду наукових дисциплін, а саме: теорії ймовірностей та випадкових процесів, математичної логіки, термодинаміки, технічної діагностики та ін, розвиток яких взаємопов'язано і знаходить своє відображення в розвитку теорії надійності. Основний напрямок розвитку науки про надійність визначається загальною тенденцією технічного розвитку в різних галузях народного господарства і завданнями народно-господарських планів країни. До числа найбільш актуальних питань теорії Надійності відносяться: оцінка та забезпечення надійності складних кібернетичних систем. Проблема надійності є «вічною» проблемою, тому що вона щоразу виникає в новому формулюванні на кожному новому етапі розвитку техніки.

Застосування теорії катастроф

Створення та розвиток цієї частини математичного аналізу було пов'язано з широкими можливостями наочного аналізу деяких складних явищ, особливо тих, які зустрічаються при описі самих різних природних явищ (веселка, каустика, стійкість складних систем, коливання і руйнування в будівельній механіці, поведінка в етології, і навіть бунти в тюрмах). 4. Висновки теорії катастроф, що до виходу системи з кризового стану.

Однією з математичних теорій, що описують різкі переходи, є теорія катастроф. Як наукова дисципліна вона з'явилася в 70-х роках минулого століття. Важливим в цій теорії є те, що вона не вимагає точних математичних моделей і може описувати ситуації не "кількісно", а "якісно", а її результати і висновки ілюструються простими геометричними образами (моделями).

Теорія катастроф є однією із частин більш загальної математичної теорії – якісної теорії складних нелінійних систем.

Теорія катастроф визначає область існування різних структур, межі їх стійкості. Для вивчення ж динаміки систем необхідно знати, яким саме чином нові розв'язки рівнянь "відгалужуються" від відомого розв'язку. Відповідь на такі питання дає теорія біфуркацій (розгалужень), тобто виникнення нових розв'язків при критичному значенні певного параметра. Момент переходу (катастрофічний стрибок) залежить від властивостей системи і рівня флуктуацій (коливань) [1,2,3].

М.Фейгенбаум встановив універсальні закономірності переходу до динамічного хаосу при подвоєнні періоду, які були експериментально підтверджені для широкого класу систем. Разом з послідовностями подвоєнь періоду (каскадами Фейгенбаума) є інші шляхи переходу до хаосу, коли, наприклад, тривалі періоди впорядкованого руху чергуються із спалахами безладу. У реальних умовах при поглибленні неврівноваженості у відкритій системі виникає певна послідовність біфуркацій, що супроводжується зміною структур.

Типовим прикладом такого сценарію є розвиток турбулентності з типами рухів, що все більш ускладнюються та чергуються. Стан системи у момент біфуркації є нестійким і нескінченно мала дія може призвести до вибору подальшого шляху. Фінальним станом систем є стан динамічного хаосу.

Поведінка всіх систем, що самоорганізовуються, в точках біфуркації має загальні закономірності, багато з яких вже розкриті концепціями самоорганізації. Розглянемо найважливіші з них.

1. Точки біфуркації часто провокуються зміною параметра управління або керуючої підсистеми, що притягує систему в новий стан.

2. Потенційних траєкторій розвитку системи багато і точно передбачити, в який стан перейде система після проходження точки біфуркації, неможливо, що пов'язане з тим, що вплив середовища носить випадковий характер (це не виключає детермінізму між точками біфуркації).

3. Підвищення розмірності і складності системи викликає збільшення кількості станів, при яких може відбуватися стрибок (катастрофа), і числа можливих шляхів розвитку, тобто, чим різнорідніші елементи системи і складніші її зв'язки, тим більш вона нестійка.

4. Часова межа катастрофи визначається "принципом максимального зволікання": система робить стрибок тільки тоді, коли у неї немає іншого вибору.

5. Катастрофа змінює організованість системи, причому не завжди у бік її збільшення.

6. Якщо система притягується станом рівноваги, вона стає закритою і до чергової точки біфуркації живе за законами, які властиві закритим системам. Якщо хаос, породжений точкою біфуркації, затягнеться, то стає можливим руйнування системи, унаслідок чого компоненти системи раніше або пізніше включаються складовими частинами в іншу систему і притягуються вже її атракторами.

7. Якщо система притягується яким-небудь атрактором критичності, то формується нова дисипативна структура – новий тип динамічного стану системи, за допомогою якого вона пристосовується до нових умов навколишнього середовища.