3.5. Виміряна температура двох груп хворих:

Контрольна	Досліджувана
37,3	37,1
37.3	37,2
37.4	37,3
37.5	37,4
37.6	37,5

Визначити достовірність різниці між групами у випадку:

1) групи складаються з різних хворих;

2) групи складаються з одних і тих же хворих, але перша - до прийому жарознижуючого, а друга - після.

Завдання №4. Порівняння частоти прояву ефекту з використанням z‑критерію.

4.1. Користуючись прикладом, приведеним в статті до практичної роботи №2, порівняти частоту виникнення небажаних побічних реакцій при лікуванні різними препаратами за результатами досліджень, запропонованих викладачем.

Демонстраційний приклад. Порівняємо частоту виникнення побічних ефектів в контрольній та експериментальній групі за результатами досліджень, приведених в таблиці 2 (див. статтю до практичної роботи №2). Для цього, в робочому листі Ехсеl сформуємо таблицю спряженості і введемо в неї початкові дані. Загальний вид робочого листа приведений на рис. 3.

Рис.3

4.2. Розрахуємо значення частоти виникнення побічних ефектів в двох групах. Результати розмістити в комірки Н5; Н6; Н7.

4.2. Розрахуємо значення z-критерію. Для цього в комірку G8 введемо відповідну формулу (див. текст статі практичної роботи №2).

4.3. Відповідним чином розрахувати вибіркову різницю, стандартну помилку різниці, ліву та праву границю довірчого інтервалу.

4.4. Задамо рівень значущості =0.05 (комірка G9).

4.5. Знайдемо критичне значення стандартного нормального розподілу для рівня . Для цього в комірку G10 вставимо функцію НОРМСТОБР(1-G9/2).

4.6. Розрахуємо досягнутий рівень значущості. Для цього в комірку G15 вставимо функцію (1-НОРМСТРАСП(G8))*2.

4.7. Зробити висновок про ймовірність виникнення негативних побічних ефектів при лікуванні пацієнтів двох різних груп.

4.8. За результатами досліджень, запропонованих викладачем, порівняти частоту виникнення небажаних побічних реакцій при лікуванні різними препаратами.

Завдання №5 Порівняння відносних величини прояву досліджуваного ефекту в двох групах з використання критерію

Демонстраційний приклад.

Бувають ситуації коли необхідно порівняти дві відносні, чи виражені в процентах величини. Наприклад у випадку перевірки ефективності дії вакцини або двох методів лікування. Як приклад застосування критерію -квадрат розглянемо порівняння двох методів лікування (експериментального і контрольного) за допомогою зіставлення частоти виникнення небажаних побічних реакцій в експериментальній і контрольній групах.

Нульовою гіпотезою (Н₀), яку ми збираємося перевіряти, приймемо наступну: частота виникнення побічних реакцій не залежить від способу лікування і однакова для обох (контрольної і експериментальної) груп. З погляду математичної статистики це завдання перевірки незалежності двох ознак. Для використання згаданого критерію дані, отримані в результаті проведених досліджень, необхідно представити у вигляді чотирьохклітинної таблиці спряженості ознак. Для застосування даного критерію необхідно, щоб в кожній клітині даної таблиці очікувана частота була не нижча 0,05. Якщо дана умова не виконується, то необхідно застосовувати точний критерій Фішера для отримання досягнутого рівня значущості р, не використовуючи апроксимацію на основі розподілу -квадрат. Спостережуваною частотою в завданнях аналізу наявності зв'язку з використанням таблиць спряженості ознак називається частота, отримана на основі наявної вибірки. При аналізі таких таблиць, спостережувану частоту зіставляють з очікуваною і на основі різних критеріїв (наприклад -квадрат) роблять висновок про незалежність (або залежність) номінальних ознак. Їх також використовують для обчислення різних законів зв'язку між номінальними ознаками. Очікуваною називають частоту, яку слід розрахувати для кожної з чотирьох кліток таблиці у разі правильності нульової гіпотези. Якщо долі пацієнтів, у яких є ознаки (наприклад, побічні реакції) що нас цікавлять, в даних групах рівні, то загальну пропорцію таких пацієнтів можна оцінити за допомогою виразу:

(5)

Іншими словами, якщо ми об'єднаємо обидві групи, то це буде частка пацієнтів, що мають ознаку, що цікавить нас, в об'єднаній групі. У разі справедливості нульової гіпотези частка таких пацієнтів в кожній групі повинна бути рівна частці в узагальненій вибірці (). На основі цього можна розрахувати для кожної клітки чотирьохклітинної таблиці значення частот, які очікуватимуться, якщо нульова гіпотеза справедлива. Розглянемо це на основі даних, приведених в табл. 7.

Таблиця 7. Частота виникнення побічних реакцій у пацієнтів і їх доля у відповідних групах

Група (метод лікуваня) або вибірка	Наявність побічних реакцій		Сума (розмір вибірки)	Пропорція/доля побічних реакцій
	ТАК	НІ
Група 1 (експериментальна)	24	142	166	0,145
Група 2 (контрольна)	16()	35	51	0,314
Сума	40	177	217	0,184

Якщо ми об'єднаємо обидві вибірки (експериментальну і контрольну групи), то загальне число пацієнтів буде рівне 217, а кількість пацієнтів, у яких були виражені побічні реакції в обох підгрупах становить 40 (). Тоді в об'єднаній вибірці частка пацієнтів, у яких відмічені побічні явища, складатиме Відповідно, частка пацієнтів в об'єднаній вибірці, у яких побічні явища не виявлені, буде рівна 81,57%. Як вже наголошувалося раніше, за умови справедливості нульової гіпотези обчислені пропорції повинні дотримуватися (або бути досить близькими) в кожній групі окремо. Обчислимо ці значення частот: . Іноді очікувані частоти називають теоретичними. У наступній таблиці приведені спостережувані і очікувані частоти.

Група (метод лікуваня) або вибірка	Наявність побічних реакцій		Сума (розмір вибірки)
	ТАК	НІ
Група 1 (експериментальна)	24/30,06	142/135,4	166
Група 2 (контрольна)	16/9,4	35/41,6	51
Сума	40	177	217

Як видно, значення спостережуваних частот відрізняються від очікуваних. Проте необхідно з'ясувати, чи є ця відмінність статистично значущою і чи можемо ми розповсюдити отримані результати на всю вибірку. Для цього застосуємо критерій -квадрат. Його критеріальний вираз, якщо спостережувану частоту в клітці таблиці спряженості позначити через , а очікувану - через , матиме наступний вигляд:

(6)

Сумування проводиться по всіх клітках таблиці спряженості. Проте, враховуючи, що неперервний розподіл -квадрат використано для представлення дискретного розподілу вибіркової частоти, то Іейтс запропонував ввести у формул поправку на неперервність. З урахуванням цієї поправки формула (2) прийме наступний вигляд:

(7)

Включення у формулу поправки на неперервність сприяє більшій відповідності між ймовірностями в порівнянні з випадком, коли вона не використовується, і її рекомендується застосовувати завжди.

На практиці досить часто користуються іншим виразом критерію -квадрат, в якому не передбачений попередній розрахунок очікуваної (теоретичною) частоти:

(8)

де позначення, приведені в даній формулі, відповідають таким в табл. 7. Вирази (7) і (8) еквівалентні - за допомогою алгебраїчних перетворень з одного можна отримати інший.

Розраховане значення -квадрат порівнюється з процентною точкою теоретичного розподілу -квадрат при числі ступеней вільності, рівному одиниці, і заданому рівні значущості. Якщо розраховане значення даного критерію більше теоретичного, то нульова гіпотеза відхиляється і приймається альтернативна. У разі коли таблиця спряженості складається більш ніж з двох рядків або двох стовпців (наприклад можуть порівнюватися не дві групи, а більше, і кожна ознака, що цікавить нас, може мати більше двох станів), то критеріальне значення розраховується по формулі (6) (поправка Іейтса не враховується).

Обробимо дані приведеного вище прикладу. Для цього на робочому листі Ехсеl сформуємо таблицю спряженості і введемо в неї початкові дані. Загальний вид робочого листа приведений на рис. 4.

5.1. Приймемо гіпотезу H₀: пропорції частоти виникнення побічних явищ в двох порівнюваних групах однакові; H₁: пропорції частоти виникнення побічних явищ в двох порівнюваних групах статистично значущо розрізняються.

5.2. Задамо рівень значущості =0.05 (комірка Н11), який означає, що ми допускаємо ймовірність ухвалення нульової гіпотези не більше ніж в 5% випадків. Іншими словами, ми задаємо максимально допустиму для нас ймовірність справедливості нульової гіпотези.

Рис.4

5.3. Розрахуємо очікувані частоти згідно виразу (1), внісши до комірок робочого листа відповідні формули (комірки С8;Е8;D5;D6; F5;F6;H5;H6;H7).

5.4. Розрахуємо критеріальне значення використовуючи вираз (7). Для цього в комірку Е9 введемо відповідну формулу.

5.5. Розрахуємо досягнутий рівень значущості, використовуючи вбудовану в Ехсеl функцію розрахунку ймовірності розподілу -квадрат, враховуючи, що для чотирьохклітинних таблиць значущості число ступеней вільності для вказаного розподілу рівне 1. Для цього в комірку Е13 вставимо функцію ХИ2РАСП(Е9;Е10). Порівняємо розраховане критерійне значення з критичним значенням розподілу -квадрат узятим з таблиці. У Ехсеl є вбудована функція ХИ2ОБР(), що дозволяє розраховувати процентні точки даного розподілу, що відповідають табличним. Для цього в комірку Е12 помістимо необхідну функцію ХИ2ОБР(Е11;Е10).

5.6. Рішення щодо ухвалення або відхилення нульової гіпотези може залежати від досягнутого рівня значущості і критичного значення розподілу -квадрат. У нашому випадку досягнутий рівень значущості р=0,012 значно менше рівня значущості =0,05, тому ми повинні відхилити нульову гіпотезу. Якби для ухвалення рішення ми використовували значення процентної точки розподілу -квадрат, то при =0,05 і воно буде рівне 3.84, що значно менше експериментального (6,34). Це також дає нам повне право на заданому рівні значущості відхилити нульову гіпотезу.

5.7. На підставі отриманих результатів можна зробити наступний висновок: існує статистично значуща відмінність в пропорціях частоти виникнення побічних реакцій у хворих експериментальної і контрольної груп. У пацієнтів контрольної групи частота виникнення побічних реакцій вища (31,4%) ніж в експериментальній (14,5%).

5.8. Порівняти відносні величини прояву побічного ефекту в двох досліджуваних групах з використання критерію за результатами досліджень, запропонованих викладачем.