- •Ен. Ф. 01 математика
- •Введение
- •1 Область определения функции многих переменныx
- •Линии уровня
- •3 Частные производные первого порядка. Полный дифференциал
- •4 Частные производные высших порядков. Дифференциалы высших порядков
- •5 Производные сложных функций
- •Производная по направлению. Градиент
- •Экстремум функции нескольких переменных
-
Экстремум функции нескольких переменных
Необходимые условия экстремума.
Если f(x; y) дифференцируема в точке (x0; y0) и имеет экстремум в этой точке, то ее дифференциал равен нулю:
(18)
Точка (x0; y0) называется стационарной точкой функции f(x; y). Обозначим
, , , .
Достаточные условия экстремума.
1. Если и , то (x0; y0) – точка максимума.
2. Если и , то (x0; y0) – точка минимума.
3. Если , то (x0; y0) не является точкой экстремума.
4. Если , то точка М0(x0; y0) может как быть, так и не быть точкой экстремума, поэтому требуется дополнительное исследование (сомнительный случай).
Пример 7.1.
Найти экстремум функции .
Решение. ; .
Получили две стационарные точки: М1(0;0) и М2(1;). Исследуем эти точки на достаточность условий экстремума. Определим частные производные
; ; .
Теперь для каждой точки определим A, B, C, .
1) М1(0;0): , , , .
Т.к. , то в точке М1(0;0) экстремума нет.
2) М2(1;): , , , .
Т.к. и , то М2(1;) - точка минимума.
Ответ:
Задачи для самостоятельного решения:
Исследовать на экстремум функцию z=f(x; y).
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8. , (x>0, y>0)
9.
10. .
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Письменный Д. Т.
Конспект лекций по высшей математике : полный курс / Д. Т. Письменный . - 9-е изд. - М.: Айрис-Пресс, 2008. – 280с.- Ч. 1.
2. Пискунов Н. С.
Дифференциальное и интегральное исчисления: учеб. пособие для вузов/ Н. С. Пискунов. - изд. стер.. - М.: Интеграл-Пресс, 2006. – 415 с. Т.1.
3. Лунгу К.Н.
Сборник задач по высшей математике: учеб. пособие / К.Н.Лунгу и др.- 7-е изд..- М.: Айрис Пресс, 2008.- 574 с.
4. Шипачев В. С.
Задачник по высшей математике: учеб. пособие для вузов / В. С. Шипачев. - 8-е изд., стер. - М.: Высш. шк., 2008. - 304 с.: ил.
5. Данко П. Е.
Высшая математика в упражнениях и задачах: учеб. пособие / П. Е. Данко, А. Г. Попов, Т. Я. Кожевникова . - 6-е изд..-М.: ОНИКС.- 2008 .-368 с.- Ч.1.