МИНИСТЕРСТВО СЕЛЬСКОГО ХОЗЯЙСТВА РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «БАШКИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АГРАРНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»

Кафедра математики

Ен. Ф. 01 математика

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ по теме:

«Функции нескольких переменных»

для всех специальностей

Уфа-2010

ООУДК 51

ББК 22.1

М 33

Рекомендовано к изданию методической комиссией факультета механизации сельского хозяйства

Протокол № 3 от 31 марта 2010 года

Составители: доцент Чередникова Л.Ю.

ассистент Галиуллина Э.В.

Рецензент: доцент кафедры физики Юмагужин Р.Ю.

Ответственный за выпуск: зав. кафедрой математики

доцент Лукманов Р.Л.

Введение

Существующие в природе процессы невозможно описать только функцией одной независимой переменной. Поэтому важное значение приобретает изучение понятия функции многих переменных.

1 Область определения функции многих переменныx

Переменная величина u называется функцией от n переменных х; у; z; ... ; t, если каждому набору этих переменных (х; у; z; ... ; t) из области их изменения соответствует единственное значение переменной u: u= f (х; у; z; ... ; t).

Например, функция является функцией двух переменных х и у, а функция - функцией трех переменных х, у, z.

Областью определения функции u= f (х; у; z; ... ; t) называется совокупность всех точек (х; у; z; ... ; t), в которых данная функция имеет определенные действительные значения (имеет смысл).

Область определения функции многих переменных вычисляется так же, как и для функции одной переменной.

Пример 1.1.

Найти область определения функции .

Решение. Подкоренное выражение должно быть больше или равно нуля, а логарифм определен только при положительном значении его аргумента, значит область определения данной функции находим из решения системы:

. (1)

Областью определения данной функции является кольцо. Граница не входит в эту область.

Рис.2 Область определения

функции

Рис.1 Область определения функции

Пример 1.2.

Найти область определения функции .

Решение. Т.к. радикал находится в знаменателе, то должно быть . Произведение положительно, если оба сомножителя положительны, или оба отрицательны. Значит, областью определения данной функции являются I и III четверти координатной плоскости (рис. 2).

Задачи для самостоятельного решения:

Найти область определения функций:

1) 6)

2) 7)

3) 8)

4) 9)

5) 10)

2. Линии уровня

Графическое изображение функции двух переменных z=z(x; у) представляет собой некоторую поверхность в пространстве. Для изучения (исследования) этой поверхности, вводится понятие линии уровня.

Линией уровня функции z=z(x; у) называется множество точек плоскости Oху, в которых функция принимает одно и то же значение C, где C=const, т.е. z(x; у)=С. Геометрически линии уровня получаются пересечением поверхности z=z(x; у) плоскостью z=C (параллельной плоскости Оxу) и проекцией линий пересечения на Оxу (рис.3). Постоянная величина С принимает несколько значений С₁, С₂, С₃ и т.д.

Рис.3 Линии уровня функции z=z(x,y)

Пример 2.1.

Построить линии уровня функции .

Решение. Чтобы найти линии уровня, пересечем поверхность плоскостью . Получим , где . Рассмотрим различные неотрицательные значения С, например

С=0, , значит , . Получили точку – начало координат;

С=1, . Получили окружность с центром в O(0; 0) и радиусом .

С=2, . Окружность с центром в O(0; 0) и радиусом и т.д.

Линиями уровня оказались окружности с центрами в начале координат (рис.4), при С=о окружность вырождается в точку. Значит графиком функции является поверхность вращения вокруг оси Oz. Действительно, уравнение задает параболоид вращения (рис.5).

Рис.4 Линии уровня

функции

Рис.5 Параболоид вращения

Задачи для самостоятельного решения:

Построить линии уровня функций:

1. 6.

2. 7.

3. 8.

4. 9.

5. 10.