- •Ен. Ф. 01 математика
- •Введение
- •1 Область определения функции многих переменныx
- •Линии уровня
- •3 Частные производные первого порядка. Полный дифференциал
- •4 Частные производные высших порядков. Дифференциалы высших порядков
- •5 Производные сложных функций
- •Производная по направлению. Градиент
- •Экстремум функции нескольких переменных
5 Производные сложных функций
Пусть z=f(x; y) дифференцируемая функция двух переменных x и y, каждая из которых, в свою очередь, является функцией независимой переменной t:
x=x(t); y=y(t).
z(x(t); y(t)) – сложная функция; x=x(t) и y=y(t) – промежуточные функции. Если они дифференцируемы, то
. (10)
Производная, найденная по этой формуле, называется полной производной.
Частный случай, когда t совпадает с одним из аргументов, скажем t=x, а . Тогда является сложной функцией переменной x и
. (11)
Рассмотрим более сложный случай, когда каждая из переменных х и у, в свою очередь, зависит от двух независимых параметров u и v.
Пусть z=f(x; y), x=x(u; v), y=y(u; v) - дифференцируемые функции своих аргументов. Тогда
и . (12)
Структура этих формул сохраняется и при большем числе переменных. Например, если w=f(x; y; z), где x=x(t), y=y(t), z=z(t), то
. (13)
Пример 5.1.
Найти производную сложной функции , , .
Решение.
Здесь z сложная функция одной независимой переменной t. По формуле найдем искомое значение , для этого вычислим все необходимые частные производные: , ;
, . Тогда .
Пример 5.2.
Найти производную сложной функции , , .
Решение.
Здесь z сложная функция двух переменных x и y, каждая из которых
зависит от двух переменных u и v. Найдем все необходимые частные производные: , ;
, ;
, .
Теперь подставим все найденные значения в формулы:
= + ;
= + .
Пример 5.3.
Найти производную сложной функции , .
Решение.
Здесь z сложная функция одной независимой переменной x.
Используем формулу .
.
Задачи для самостоятельного решения:
-
Найти , если , где , .
-
Найти , если , где .
-
Найти и , если , где , .
-
Найти , если , где .
-
Найти , если ; ; .
-
Найти , если ; ; .
-
Найти , если ; ; .
-
Найти и , если ; ; .
-
Найти и , если ; ; .
-
Найти и , если ; ; .
-
Производная по направлению. Градиент
Частные производные и представляют собой производные от функции z=f(x; y) по двум частным направлениям осей Ox и Oy.
Пусть z=f(x; y) – дифференцируемая функция в некоторой области D, D. Пусть - некоторое направление (вектор с началом в точке M0), а - орт этого направления.
, (14)
при этом если вектор =, то координаты орта (направляющие косинусы) можно найти по формулам: , , где .
Теорема. Производная по направлению, касательному к линии уровня поверхности z=f(x; y), равна нулю.
По аналогии можно определить производную по направлению для функции трех переменных u=f(x; y; z):
, (15)
где - орт направления .
Градиентом функции z=f(x; y) (скалярного поля) называется вектор с координатами , . Обозначение
. (16)
Производная по направлению равна скалярному произведению векторов градиента и орта направления :
. (17)
Пример 6.1.
Вычислить производную функции z=2x²+xy в точке М(-1; 2) в направлении вектора =3i+4j и градиент.
Решение. Найдем значение частных производных в точке М.
; . ; .
Вычислим направляющие косинусы =3i+4j
; .
Тогда: ; .
. .
Ответ: ; .
Задачи для самостоятельного решения:
Даны: функция z=z(x; y), точка A и вектор .
Найти: а) в точке A;
б) производную в точке A по направлению вектора .
1. z = ln(5x+3y); A(2;2); =.
2. z = arctg; A(2;1); =.
3. z =; A(2;1); =.
4. z = ; A(2;−1); =.
5. z = arcsin; A(1;2); =.