- •Ен. Ф. 01 математика
- •Введение
- •1 Область определения функции многих переменныx
- •Линии уровня
- •3 Частные производные первого порядка. Полный дифференциал
- •4 Частные производные высших порядков. Дифференциалы высших порядков
- •5 Производные сложных функций
- •Производная по направлению. Градиент
- •Экстремум функции нескольких переменных
3 Частные производные первого порядка. Полный дифференциал
Частной производной функции z=f(x; y) по переменным x и y называется предел отношения соответствующего частного приращения или к приращению данной переменной при условии, что приращение переменной стремится к нулю:
, (1)
. (2)
Из определения следует, что производная функции нескольких переменных определяется как производная функции одной из переменных при фиксированных значениях всех других переменных. Поэтому все правила и формулы дифференцирования, выведенные для функции одной переменной, сохраняются и для частных производных функции нескольких переменных. Следует помнить только одно правило: если по одной переменной дифференцируем, то остальные считаются постоянными.
Полным дифференциалом функции z=z(x; y) называется выражение
, (3)
а полный дифференциал функции u=u(x; y; z) будет определяться по формуле
. (4)
При малых и полное приращение отличается от полного дифференциала на бесконечно малую величину высшего порядка от . Этим пользуются в приближенных вычислениях:
.
Отсюда, можно записать следующую формулу
. (5)
Пример 3.1.
Найти частные производные и полный дифференциал функции
.
Решение. ;
.
.
Пример 3.2.
Найти частные производные и полный дифференциал функции .
Решение. ; .
.
Пример 3.3.
Найти приближенное значение числа .
Решение.
Число есть частное значение функции . Известно, что . Поэтому, принимаем , . Тогда , .
Значение вычислим при помощи формулы (5). Найдем частные производные в точке (2;0):
; .
; .
; .
Ответ: 4,24.
Задачи для самостоятельного решения:
Найти частные производные и полный дифференциал функций:
1. 6.
2. 7.
3. 8.
4. 9.
5. 10.
Вычислить приближенно:
11. 15.
12. 16.
13. 17.
14.
Показать, что функция удовлетворяет уравнению
18. ; .
19. ; .
4 Частные производные высших порядков. Дифференциалы высших порядков
Частными производными второго порядка от функции z = f(x; y) называются частные производные от ее частных производных первого порядка, также являющихся дифференцируемыми функциями.
- вторая частная производная по x;
- вторая частная производная по y;
и - смешанные частные производные второго порядка.
Аналогично определяются и обозначаются частные производные третьего и высших порядков, например:
Теорема Шварца. Если смешанные частные производные второго порядка непрерывны, то они равны между собой. Другими словами, результат смешанного дифференцирования не зависит от порядка:
. (6)
Вторым дифференциалом или дифференциалом второго порядка для функции z называется выражение
, где , . (7)
Дифференциалы высших порядков определяются по аналогии:
. (8)
Выражение для формально можно записать в виде, напоминающем формулу бинома Ньютона:
. (9)
Пример 4.1.
Найти частные произвольные второго порядка функции .
Решение. .
;
Пример 4.2.
Проверить, что для функции z=ln(x2 - y2 + 3).
Решение. Найдем частные производные:
Действительно, смешанные частные производные второго порядка равны между собой.
Задачи для самостоятельного решения:
Дана функция z=f(x; y). Проверить, удовлетворяет ли она данному уравнению:
1. ; .
2. ; .
3. ; .
Дана функция z=f(x; y), найти значения указанных выражений:
4. ; .
5. ; .
Найти :
6. 10.
7. 11.
8. 12.
9. 13.
Дана функция u. Найти .
14. . 15. . 16. .