Суммирование погрешностей

Погрешность измерения, т. е. отклонение результата измерения от истинного значения измеряемой величины, образуется вслед­ствие погрешностей средств измерений, метода измерения и отсчи­тывания показаний средства измерений. Эти погрешности, в свою очередь, складываются из своих составляющих погрешностей.

Например, погрешность средства измерений определяется по­грешностями его блоков и узлов. Значение этой погрешности может существенно зависеть от внешних факторов, влияющих на работу средства измерений (например, изменения окружающей темпера­туры, колебаний напряжения вспомогательных источников пита­ния и др.).

В практике измерений часто встает задача определения резуль­тирующей (суммарной) погрешности по известным значениям со­ставляющих этой погрешности.

При рассмотрении составляющих погрешности как случайных величин, результирующую погрешность следует определять по пра­вилу суммирования случайных величин. Это правило основано на известных из теории вероятностей положениях:

1. математическое ожидание (систематическая погрешность) результирующей погрешности определяется алгебраической сум­мой математических ожиданий (систематических погрешностей) составляющих;

2. дисперсия результирующей погрешности определяется выра­жением

(2.22)

где σ²_Σ - дисперсия результирующей погрешности; σ²_i - диспер­сия i-й составляющей погрешности; n - число суммируемых со­ставляющих погрешностей; r_ij - коэффициент корреляции между i- и j-й составляющими, знак i < j под суммой означает, что суммирование распространяется на все возможные попарные сочета­ния составляющих погрешностей.

Нахождение результирующей систематической погрешности по известным систематическим погрешностям суммируемых состав­ляющих не вызывает трудностей. Использование же выражения (2.22) Для расчета σ²_Σ затруднительно, так как точное значение коэффи­циента корреляции между составляющими обычно неизвестно. В этом случае при расчетах полагают r равным нулю, если слу­чайные составляющие можно считать независимыми, или равным единице со знаком плюс или минус, если заметна корреляция между суммируемыми случайными составляющими погрешностей. Рассмотрим подробнее суммирование случайных погрешностей.

Суммирование случайных погрешностей при нормальных законах их распределения. Будем считать, что результирующая погреш­ность измерения состоит из n случайных составляющих, имеющих нормальный закон распределения; -δ_im, +δ_im - доверительный интервал i-й случайной составляющей.

Зная доверительную вероятность и доверительный интервал для каждой составляющей погрешности, можно найти среднее квадратическое отклонение каждой из них по формуле

(2.23)

где z_pi - коэффициент, взятый из таблиц для нормального распре­деления и соответствующий доверительной вероятности P_i.

Если доверительная вероятность для всех составляющих оди­накова и равна Р, то, используя выражения (2.22) и (2.23), полу­чаем:

а) для коррелированных составляющих (r_ij = +1 или -1)

(2.24)

где знак ± означает, что для составляющих с положительной кор­реляцией σ_i и δ_im нужно брать со знаком плюс, а для составляю­щих с отрицательной корреляцией - со знаком минус;

б) для независимых составляющих (r_ij = 0)

(2.25)

При суммировании составляющих, имеющих нормальный закон распределения, результирующая погрешность будет иметь тоже нормальный закон распределения. Поэтому доверительный интер­вал суммарной погрешности с доверительной вероятностью Р может быть найден как

(2.26)

где δ_Σ - граница доверительного интервала суммарной погреш­ности.

С учетом (2.24) и (2.25) выражение (2.26) принимает вид:

а) для коррелированных составляющих

(2.27)

б) для независимых составляющих

(2.28)

Если в выражении (2.27) все составляющие имеют положитель­ную корреляцию, то

(2.29)

Суммирование погрешностей по выражению (2.29) называется арифметическим суммированием, а по выражению (2.28) - геоме­трическим суммированием.

Действительные значения. коэффициентов корреляции по абсо­лютному значению могут находиться в пределах от нуля до единицы, поэтому арифметическое суммирование обычно дает завышенное значение суммарной погрешности.

Суммирование случайных погрешностей при их законах распре­деления, отличных от нормального. Трудность нахождения сум­марной погрешности в этом случае заключается в том, что закон распределения результирующей погрешности зависит от конкрет­ных видов и характеристик законов распределения суммируемых составляющих. Например, при сложении двух независимых слу­чайных погрешностей, имеющих равномерные законы распреде­ления с одинаковыми дисперсиями, результирующая погрешность будет распределяться по треугольному закону. Если же эти равно­мерные законы имеют разные дисперсии, то результирующий за­кон будет иметь вид трапеции. Поэтому для установления довери­тельного интервала суммарной погрешности необходимо в каждом конкретном случае искать методами теории вероятностей резуль­тирующий закон распределения по известным законам суммируемых составляющих.

Зная результирующий закон распределения, можно найти дове­рительный интервал суммарной погрешности по выражению, ана­логичному (2.26):

(2.30)

где k^(P)_Σ - коэффициент, зависящий от результирующего закона распределения и доверительной вероятности Р.

Возможны приближенные способы определения доверительного интервала суммарной погрешности без установления результирую­щего закона распределения.

Первый способ базируется на центральной предельной теореме: если число суммируемых независимых составляющих достаточно велико (практически при n ≥ 5) ¹², то результирующий закон рас­пределения близок к нормальному и в качестве коэффициента k^(P)_Σ можно принимать z_p.

Второй способ основан на исследовании ¹³, показавшем, что при суммировании независимых составляющих, имеющих законы рас­пределения, отмеченные в ГОСТ 8.011-72, можно пользоваться приближенными значениями k^(P)_Σ при доверительной вероятности (P = 0,90 k^(0,90)_Σ ≈ 1.6, а при доверительной вероятности Р = 0,95 k^(0,95)_Σ ≈ 1,8. При этом погрешность в определении δ_Σ не превы­шает 10%.