- •Глава 4 интегрирование функций комплексного переменного
- •§ 1. Определение интеграла от функции комплексного
- •Переменного и его свойства
- •§ 2. Теорема Коши
- •§ 3. Неопределенный интеграл
- •§ 4. Интегральная формула Коши и ее приложения.
- •Теорема Лиувилля
- •Операционное исчисление
- •§ 1. Оригинал и изображение
- •§ 2. Свойства преобразования Лапласа
- •§ 3. Изображение функции Дирака
- •§ 4. Теорема обращения
- •§ 4. Теорема разложения
§ 4. Теорема разложения
Рассмотрим важный частный случай нахождения оригинала, когда изображение его представляет собой правильную рациональную дробь, т. е. где и многочлены.
-
Допустим, что корни знаменателя простые.
Как известно всякую правильную дробь можно представить в виде суммы простейших дробей, т. е.
(10.11)
Если известны и , то оригинал определится формулой
так как
Коэффициенты находятся следующим образом: умножим (10.11) на и перейдем к пределу при Получим
игинал
для
изображения
(10.12)
2. Если же знаменатель имеет кратные корни, то разложение дроби на простейшие имеет вид
Умножая обе части этого равенства на получим
(10.13)
Переходя к пределу при , найдем в (10.13), будем иметь
Продифференцировав равенство (10.13) по и перейдя к пределу при , найдем
Таким образом, можно найти все
И следовательно, оригинал будет иметь вид
(10.14)
Таким образом, мы доказали, что если изображение является дробно- рациональной функцией и – полюсы этой функции, то соответствующий оригинал определяется формулой (10.14), т. е. в рассматриваемом случае оригинал может быть найден без формулы (10.8).
Пример. Найти оригинал. Имеем полюс третьего порядка, простой полюс:
Следовательно,
Пример. Найти решение уравнения
удовлетворяющее начальным условиям
Пусть , тогда уравнение в изображениях будет иметь вид
,
отсюда
Пользуясь теоремой разложения, получим оригинал, предварительно представив изображение в виде суммы простейших дробей:
Следовательно, Таким образом, мы получаем решение задачи, не находя общего решения дифференциального уравнения.
ЛИТЕРАТУРА
1. Лаврентьв М.А. , Шабат Б.В. Методы теории функций комплексного переменного. «Наука», Москва, I 965.
2. Маркушевич А.И. Краткий куре теории аналитических функций. «Наука», Москва, I 966.
3. Свешников А.Г. Тихонов А.В. Теория функций комплексной переменной. «Наука», Москва, I 970.
4. Фукс Б.А.‚ Шабат Б.В. Функции комплексного переменного и некоторые их приложения. Физматгиз. Москва, I 959.
5. Конторович М.И. Операционное исчисление и процессы в электрических цепях. «Наука», Москва, I 964.