- •Глава 4 интегрирование функций комплексного переменного
- •§ 1. Определение интеграла от функции комплексного
- •Переменного и его свойства
- •§ 2. Теорема Коши
- •§ 3. Неопределенный интеграл
- •§ 4. Интегральная формула Коши и ее приложения.
- •Теорема Лиувилля
- •Операционное исчисление
- •§ 1. Оригинал и изображение
- •§ 2. Свойства преобразования Лапласа
- •§ 3. Изображение функции Дирака
- •§ 4. Теорема обращения
- •§ 4. Теорема разложения
§ 3. Неопределенный интеграл
В интеграле зафиксируем нижний придел z0 интегрирования и будем рассматривать интеграл как функцию верхнего предела Тогда для функции f (z) можно доказать теорему.
Теорема.
Если функция f (z) непрерывна в односвязной области D и интеграл
(4.10)
не зависит от пути интегрирования, то однозначная в области D функция f (z) аналитична в D, причем
Доказательство. По определению производной и на основании свойств интеграла можем записать
Рис. 4.4
где z – произвольная точка D, (рис. 4.4). В силу непрерывности функции f(z)
в точке z имеем
где при .
Учитывая это, получим:
но
при .
(путь интегрирования от точки z до точки считаем прямолинейным).
Отсюда и, следовательно,
Функция Ф(z) называется первообразной для функции f(z) в некоторой области D, если (Ф(z))′= для .
Из доказанной теоремы следует, что является первообразной для функции f(z). Можно легко доказать следующую теорему.
Теорема.
Любые две первообразные одной и той же функции отличаются друг от друга не более, чем на постоянное слагаемое.
Доказательство предоставляется провести самостоятельно.
На основании этой теоремы можно записать:
где Ф(z) – любая первообразная функция
При следовательно,
(4.11)
Мы получили формулу, аналогичную формуле Ньютона-Лейбница для вычисления определенного интеграла функции действительного переменного.
Пример.
Рассмотрим . Подынтегральная функция аналитична в любой односвязной области D комплексной плоскости, не содержащей току z = 0, например, в области . В этой области является первообразной для функции Поэтому Предположим теперь, что линия, соединяющая точку z = 1 с точкой z, пересекает отрицательную
Рис.4.5 Рис.4.6
действительную ось (рис. 4.5). В этом случае, учитывая пример 1 § 1, будем иметь
Если путь интегрирования совершает k оборотов вокруг точки z = 0, то (знак определяется направлением движения по кривой). Таким образом, мы получаем ту или иную ветвь многозначной функции Lnz . Можно написать .
§ 4. Интегральная формула Коши и ее приложения.
Интегральная формула Коши.
Пусть Г кусочно-гладкая граница односвязной области D и f(z) – функция, аналитическая в области D и непрерывная в замкнутой области
Рассмотрим произвольную точку :
Функция переменной аналитична всюду в области D за исключением точки .
Опишем окружность радиуса р с центром в точке z, принадлежащую области D (рис. 4.6).
Так как функция f(z) аналитична в двухсвязной области ограниченной Г и , и непрерывна на ее границе , то по теореме Коши , т.е. интеграл не зависит от радиуса р окружности. Так как существует , то доопределив функцию в точке , положив , будем иметь функцию , непрерывную в области D, а значит и ограниченную в ней: .
Учитывая это, получим:
В силу произвольности р и постоянства M
т.е. или
отсюда получаем интегральную формулу Коши:
т.е. значение функции f(z), аналитической в области D непрерывна в , можно выразить чрез ее значения на границе области Г.
Пример 1. Вычислить интеграл
Т. к. аналитична в замкнутой области, ограниченной окружностью, то по интегральной формуле Коши имеем:
Если рассмотреть этот же интеграл, но в качестве контура взять
окружность то
т. к. подынтегральная функция аналитична всюду в замкнутой области, ограниченной окружностью
Правую часть интегральной формулы Коши называют интегралом Коши.
Следствие 1. В частном случае, если кривая Г является окружностью с центром в точке z радиуса R, т. е. мы имеем и тогда
т. е. f (z) есть среднее арифметическое значение f () на окружности центром z.
Интегральная формула Коши справедлива и для многосвязной области. Действительно, пусть D многосвязная область, ограниченная контуром и функция f (z) аналитична в D и непрерывна .
Рис. 4.7.
Рассмотрим произвольную точку . Окружим точку z окружностью CR, так, чтобы область, ограниченная окружностью CR , вместе с самой окружностью полностью принадлежала D (рис. 4.7). Тогда функция удовлетворяет условиям теоремы Коши в (m + 2)-связной области ограниченной контуром и следовательно,
или
на основании доказанной выше теоремы.
Отсюда
Неограниченная дифференцируемость аналитической
функции
Используя представление функции интегралом Коши (6.6), можно показать, что аналитическая в области в функция дифференцируема в точках области D сколько угодно раз.
Теорема. Если функция f (z) аналитична в области D и непрерывна в области , то она обладает в области D производными всех порядков, причем n-ая производная представляется формулой
(6.7)
где Г - граница области D.
Рис. 4.8
Доказательство. Пусть z – произвольная точка области D (Pис.4.8). На основании интегральной формулы Коши имеем
Оценим разность
Из непрерывности f (z) на замкнутом множестве Г следует ограниченность f (z) на Г, т.е. существует М >0 такое, что < М для С другой стороны поэтому существует такое, что . Тогда для имеем
Отсюда
Где l - длина Г. Т. к. M, l, d не зависят от L, то при . Следовательно,
Мы доказали формулу (6.7) для n = 1.
Для любого n > 1 формула доказывается индукцией по n.
Пример 2. Вычислить К этому интегралу можно применить формулу (6.7), тогда
Замечание: неравенства Коши.
Обозначим через М максимум в области D, через R расстояние от точки z до границы и через l длину границы Г, тогда из интегральной формулы для n-ой производной имеем:
В частности, если (z) аналитична в круге , то принимая в качестве D этот круг, будем иметь:
(n = 0, 1, 2…). (6.8)
Эти неравенства называют неравенствами Коши.