Глава 4 интегрирование функций комплексного переменного
§ 1. Определение интеграла от функции комплексного
Переменного и его свойства
Определение интеграла
Пусть задана некоторая ориентированная
непрерывная кривая
и на ней однозначная функция комплексного
переменного
.
Разобьем кривую
произвольно на
элементарных дуг точками
,
записанными в порядке их следования на
кривой (точки
и
-
начало и конец кривой
соответственно), и на каждой из дуг
также произвольно возьмем по точке
.
(См. рис. (4.1)). Обозначим
.
Рис. 4.1
Назовем интегралом
вдоль
предел
,
(4.1)
если он существует и не зависит ни от
способа разбиения кривой
,
ни от выбора точек
.
Вопрос о существовании комплексного интеграла (4.1) сводится к вопросу о существовании криволинейного действительного интеграла.
Действительно, положив
,
получим
.
Замечаем, что суммы в правой части
полученного равенства представляют
собой интегральные суммы криволинейных
интегралов
и
соответственно. А поэтому, как следует
из теоремы о существовании криволинейного
интеграла, для существования интеграла
(4.1) достаточно, чтобы кривая
была кусочно-гладкой, а функции
и
кусочно-непрерывными функциями
действительных переменных, или что-то
же самое, чтобы функция
была
непрерывной на
.
Итак, интеграл (4.1) можно связать с
криволинейными интегралами формулой
.
(4.2)
Примеры:
1. Пусть
.
Тогда интегральная сумма
следовательно,
.
В частности, если
- замкнутая кривая
,
то
.
2. Пусть
,тогда,
полагая
,
получим интегральные суммы
,
если же положить
,
то интегральные суммы примут вид
.
Так как эти суммы имеют один и тот же
предел, то их среднее арифметическое
имеет тот же предел
,
следовательно
Свойства интеграла функции комплексного переменного
1.
.
(4.3)
2.
,
(4.4)
где
обозначает кривую, составленную из дуг
и
,так
что конец
совпадает с началом
.
3.
,
(4.5)
где
-
комплексная постоянная.
4.
.
(4.6)
Свойства 1-4 могут быть получены из определения интеграла или из формулы (4.2)
5.
(4.7)
где
- длина кривой
,
отсчитываемая от начала до произвольной
ее точки.
Интеграл
часто записывают также как
.
Действительно, в силу неравенства
для модуля интегральной суммы можно записать:
,
но
длины
,
следовательно,
.
Переходя к пределу в последнем
неравенстве при условии
,
получаем формулу (4.7). В частности, если
для
,
из формулы (4.7) следует
для
.
6. Пусть
- действительный параметр) – уравнение
гладкой кривой
,
тогда
.
(4.8)
Действительно, на основании формулы (4.4) способ вычисления криволинейного интеграла дает
Пример.
Вычислить интеграл
,
причем окружность проходится против
часовой стрелки. Уравнение окружности
,
где
.
Применяя формулу (4.4) имеем
.
Замечание. Пусть
- замкнутая кусочно-гладкая кривая
Жордана. Условимся под записью
понимать интеграл вдоль контура Г
в положительном направлении (т.е. когда
область ограниченная кривой Г ,
остается слева при движении по Г).
Когда интегрирование по контуру Г
производится в отрицательном направлении,
будем писать
