Практическая работа № 3 Определение центров тяжести профилей и сложных сечений

Пример. Определить координаты центра тяжести сечения, составленного из прокатных профилей, как по­казано на рис. 6, а. Сечение состоит из двутавровой балки № 33, швеллера № 27, двух уголков 90х56х6 и листа сечением 12х180 мм.

Решение: 1 Разобьем сечение на прокатные профили и обозначим их 1, 2, 3, 4, 5.

2. Пользуясь табл. 2, 3 и 4 прил. I, укажем центры тяжести каждого профиля и обозначим их С₁ C₂, C₃, С₄ и С₅.

3. Выберем систему осей координатных. Ось у совме­стим с осью симметрии, а ось х направим перпендику­лярно оси у и проведем через центр тяжести двутавро­вой балки.

4. Выпишем формулы для определения координат центра тяжести сечения:

х_с=0, так как ось у совпадает с осью симметрии;

Учитывая, что А₂=Аз, а также, что у₂ = уз, получим

Определим площади и координаты центров тяжести отдельных профилей проката, используя сечение и табл. 2, 3 и 4 прил. I:

А₁ =35,2 см²; А₂ = А₃ = 8,54 см²; А₄ = 53,8см²; А₅= 1,2 ·18 = 21,6 см²;

у₁ = h_дв//2 + d_шв – z_0(шв) = 33/2 + 0,6 - 2,7=14,63 см

у₂ =у₃= h_дв//2 + d_шв - b_шв + z_0(уг) = 33/2 + 0,6 - 9,5 + 1,28=8,88 см

у₄ = 0, так как ось х проходит через центр тяжести двутавра;

у₅ = - (h_дв//2 - δ_листа//2)= = - 17,1 см.

Подставим полученные значения в формулу для оп­ределения у_с:

у_с = см

укажем положение центра тяжести сечения С (рис.6, а)

Проверка решения. Проведем ось х по нижней грани листа (рис. 6, б). Площади профилей останутся теми же, а координаты центров тяжести изменятся:

у₁ ⁼ δ_листа + h_дв + d_шв — z_0(шв) = 1.2 + 33 + 0,6 — 2,47 = 32,33 см;

у₂ = δ_листа + h_дв + d_шв – b_шв — z_0(уг) = 1,2 + 33 + 0,6 — 9,5+ 1,28 = 26,58 см;

у₂ = у₃ = 26,58 см;

у₄= δ_листа + h_дв/2 = 1.2 + 33/2 = 1,2 +16,5 = 17,7 см;

у₅= δ_листа / 2 = 1,2/2 = 0,6 см.

Определим положение центра тяжести в новой системе координат

у_с= см

Разность между координатами тяжести должна быть равна расстоянию между осями х в первом и во втором решении:

20,3 — 2,33= 33/2 + 1,2

откуда 17,7 см = 17,7 см.

Ответ: у_с = 2,33 см, если ось х проходит через С₄, и у_с = 20,03 см, если ось х проходит по нижней грани

Рис.6

Пример. Определить положение центра тяжести (сечения, состоящего из простых геометрических фигур, (рис. 7,а).

Решение: 1. Разобъем сечение на пять фигур: два прямоугольника, два треугольника и круг (рис. 7,б). Они обозначены 1, 2, 3, 4, 5

2. Укажем центры тяжести простых фигур С₁, С₂, Сз, С₄, С₅ в (рис. 7, б).

3. Выберем систему координат. Ось х проведем через центр тяжести С₂ прямоуголь-ника, а ось у совместим с осью симметрии сечения.

Рис.7

4. Определим координаты центра тяжести сечения. Координаты х_с=0, так как ось у совпадает с осью сим­метрии. Координату у_с определим по формуле

Используя прил. II, определим площади фигур и ко­ординаты центров тяжести:

А₁ = 40 · 8 = 320 см²; у₁ =см; А₂=9 ·42 = 378 см², у₂=0

А₃=А₄=см²; у₃=у₄=2/3 · 42 - ½ · 42 = 28 – 21 = 7 см

А₅=см²; у₅=21 - 3= 18 см

Подставим числовые значения в формулу для опре­деления у_с:

у_с= см

Для проверки решения ось Х₁ можно провести по нижней грани сечения. В этом случае у_с = 30,84 см. По­скольку 30,84—21=9,84 см, то решение верно.

Ответ: у_с=9,84 см, если ось х проходит через С₂.

Задание для расчетно-графической работы 3. Задача 1. Опреде­лить положение центра тяжести сечения, состоящего из профилей проката, по данным одного из вариантов, показанных на рис. 8.

Задача 2. Определить положение центра тяжести сечения, со­стоящего из простых геометрических фигур, по данным одного из вариантов, показанных на рис. 9

Рис.8

Рис.9

Практическая работа № 4

а) Построение эпюр продольных сил, нормальных напряжений для ступенчатого бруса, а также определение перемещения свободного конца бруса;

б) Расчет на прочность: проверочный расчет, проектный расчет, определение допускаемой нагрузки.

Пример. Построить эпюры продольных сил и нормальных напря­жений для бруса по рис. 10, а.

Решение. Делим брус по длине на три участка (/, //, ///). Проведя про­извольное сечение 1 — 1 на участке I, отбросим верхнюю часть бруса и рас-

Рис.10

смотрим равновесие нижней части (рис. 10, б), на которую действуют внешняя сила Р₁ = 24кН и искомая продольная сила N₁. Составляем уравнение равно­весия:

ΣΥ = — N₁ + P₁ = 0, откуда N₁ = P₁==24 кН.

Продольная сила N₁ на участке 1 постоянна и является растягивающей (направлена от рассматриваемого сечения). Проводим сечение 2— 2 на участке // и рассматриваем равновесие нижней отсеченной части (рис. 10, в), на которую действуют внешние силы Р₁ и Р₂ и искомая продольная сила N₁₁. Составляем уравнение равновесия:

ΣΥ = - N₁₁ + Р₁ + Р₂ = 0_,

откуда N_II = P₁ + P₂ = 24 + 24 = 48 кН.

В сечениях участка II продольная сила также растягивающая.

Наконец, проведя сечение 3 — 3, получаем, что на нижнюю отсеченную часть действуют три внешние силы Р₁, Р₂ и Р₃ и искомая продольная сила N_III (рис. 10, г). Составляем уравнение равновесия:

ΣΥ= -N_III + Р₁ + Р₂ + Р₃ = 0, откуда N_III =24 + 24+ 12 = 60 кН.

По полученным величинам продольных сил строим их эпюру (рис. 10, д). Положительные ординаты эпюры откладываем вправо от оси (базиса) эпюры. Нормальные напряжения определяем по формуле σ = N/ F:

на участке I σ₁ = 60·10⁶ Н/м²= 60 МН/м²;

на участке II σ_II = 120-10⁶ Н/м²= 120 MH/м²

на участке III σ_III = 150 · 10⁶ Н/м²= 150 МН/м².

По полученным данным строим эпюру нормальных напряжений (рис. 10, е).

Определить перемещение свободного конца бруса можно используя закон Гука:

Задание для расчетно-графической работы № 4. Построить эпюры продольных сил и нормальных напряжений для ступенчатого бруса, определить перемещение свободного конца бруса по данным одного из вариантов, показанных на рисунке 11. и таблицы 2.

Рис.11

Таблица 2

№ п/п	Вариант	А1 см2	А2 см2	А3 см2	i F1 кН	F2 кН	№ п\п	Вариант	A1 см2	А2 см2	А3 см2	F1 кН	F2 кН
1	1	8	6	14	18	20	1	1	7	5	13	16	18
2	2	6	4	12	20	12	2	2	8	6	16	18	14
3 3 3	3	4	2	8	40	50	3	3	6	4	10	30	40
4	4	6	4	12	16	24	4	4	8	6	10	24	16
5	5	16	12	8	28	38	5	5	15	10	6	30	20
6	6	12	10	6	30	40	6	6	16	14	12	40	30
7	7	8	6	4	30	20	7	7	10	8	6	20	30
8	8	2	4	6	25	40	8	8	4	6	8	30	35
9	9	2,5	6	8	20	18	9	9	3	7	10	25	30
10	10	4,5	6	8	18	24	10	10	5	8	12	25	30
11	11	2	16	14	14	32	11	11	4	12	10	16	40
12	12	4,2	6,4	5	26	18	12	12	4	6	4,5	20	25
13	13	3	5	4	30	20	13	13	4	6	5	25	15
14	14	4	12	8	35	40	14	14	6	16	11	40	35
15	15	16	6	12	25	15	15	15	14	5	10	15	25
16	16	14	8	12	20	12	16	16	12	10	11	18	16
17	17	12	6	8	30	25	17	17	14	8	12	25	30
18	18	14	6	10	25	30	18	18	16	6	12	20	40
19	19	12	4	6	30	40	19	19	14	5	8	35	20
20	20	10	6	8 '	24	36	20	20	12	4	6	34	22
21	21	18	14	16	40	50	21	21	20	16	18	35	30
22	22	12	10	8	40	60	22	22	14	12	10	60	40
23	23	10	6	4	35	55	23	23	12	8	6	20	40
24	24	12	6	3	25	45	24	24	18	12	10	30	25
25	25	3	5	9	20	5	25	25	4	6	12	18	40
26	26	6	5	6	10	15	26	26	12	6	12	12	20
27	27	7	9	6	12	14	27	27	10	14	8	20	8
28	28	4	6	8	10	16	28	28	6	8	12	12	25
29	29	6	8	5	7	9	29	29	10	18	8	14	18
30	30	8	10	6	4	8	30	30	12	14	8	10	12