Основные свойства кривой Безье:
● непрерывность заполнения сегмента между начальной и конечной точками;
● кривая всегда располагается внутри фигуры, образованной линиями, соединяющими контрольные точки;
● при наличии только двух контрольных точек сегмент представляет собой отрезок прямой линии;
● прямая линия образуется при коллинеарном (на одной прямой) размещении управляющих точек;
● кривая Безье симметрична, т.е. обмен местами между начальной и конечной точками (изменение направления траектории) не влияет на форму кривой;
● масштабирование и изменение пропорций кривой Безье не нарушает ее стабильности, так как она, с математической точки зрения, "аффинно инвариантна";
● изменение координат хотя бы одной из точек ведет к изменению формы всей кривой Безье;
● степень кривой всегда на единицу меньше числа опорных точек (т.е. при трех опорных точках форма кривой - парабола);
● размещение дополнительных опорных точек вблизи одной позиции увеличивает ее "вес" и приводит к приближению траектории кривой к данной позиции;
● окружность не может быть описана параметрическим уравнением кривой Безье;
● невозможно создать параллельные кривые Безье, за исключением тривиальных случаев (прямые линии и совпадающие кривые).
Явные и параметрические функции.
y = f(x) – явная функция.
Недостатки:
- каждому значению x соответствует только одно значение y. Это не дает возможность начинать новый фрагмент кривой в произвольном месте.
- кривая не может быть разомкнута.
Вывод: явный способ представления не может применен там, где требуется описание произвольных кривых, размещения в произвольных местах на плоскости.
Альтернатива – параметрическое описание.
g(t) = { x(t), y(t)}
Особенности:
- обе координаты являются равноправными, т.е. вычисляются как функции некоторого вспомогательного параметра.
- параметрические кривые имеют более разнообразные формы, чем позволяют явные функции.
Вывод: применение параметрических функций позволяет применять более сложные функции, а не только линейную аппроксимацию. Исходные кривые заменяют аппроксимирующими кривыми, которые способны обеспечить требуемую гладкость.
-
Nurbs-кривые: понятие, характеристика. Базовые функции. Узловой вектор.
NURBS – кривые.
Более общий (более сложный) вид кривых.
Кривая Безье – частный случай NURBS.
Non-Uniform Rational B-splines.
Non-Uniform – неоднородный: область влияния контрольной точки на форму кривой может быть различной. Это важно для моделирования иррегулярных кривых.
Rational – рациональный: математическое выражение, описывающее форму моделируемой кривой есть отношение двух полиномов это позволяет моделировать различные кривые, в т.ч. конические сечения.
B-splines – basis spline (базовый сплайн) – способ математического описания кривой интерполяцией между тремя и более контрольными точками.
Контрольные точки.
g(t) = { x(t), y(t) }
Изменения значение t получится последовательность параметров {x, y} по которым строится кривая.
Форма NURBS-кривой определяет расположение множества контрольных точек.
Эта возможность позволяет локализовать изменение формы кривой перемещением отдельных контрольных точек без изменения всей кривой в целом.
Каждая контрольная точка определяет форму только той части кривой, которая находится в ее окрестности, и оказывает меньшее воздействие или вовсе не влияет на форму оставшейся части кривой.
Базовые функции (функции смешивания).
Функция, которая
определяет, как сильно форма кривой
зависит от конкретной контрольной точки
,
называется базовой точкой (basic
function)
этой контрольной точки.
Влияние контрольной точки на контрольную точку кривой может быть выражена числовым значением и отображена на графике. Максимальное влияние достигается в определенной точке, постепенно уменьшается по мере удаления. Форма базовой функции напоминает колокол.
Каждая контрольная точка имеет свою базовую функцию. Кривая NURBS, построенная по пяти контрольным точкам имеет пять базовых функций, перекрывая некоторую область результирующей кривой.
На данном рисунке все базовые функции имеют одинаковую форму и размещены на равных расстояниях друг от друга.
В большинстве случаев желательно варьировать длины интервалов т. о., чтобы определенные контрольные точки влияли на значительно больший сегмент кривой, а другие на меньший. Это создает условие для неоднородности (Non-Uniform) в описании кривой.
Точки, разграничивающие интервалы получили названия узлов (knots), а их упорядоченный список – угловой вектор (knot vector).
Угловой вектор {0.0, 1.0, 2.0, 3.0, 4.0, 5.0, 6.0, 7.0} – пример однородного углового вектора.
Кривая с однородным угловым вектором.
Если изменить угловой вектор следующим образом: {0.0, 1.0, 2.0, 3.75, 4.0, 4.25, 6.0, 7.0}, то получится другое множество неоднородных (non-uniform) базовых функций и соответственно другая форма кривой, которая строится на тех же контрольных точках.
Характеристика семейства базовых функций.
Для V
значения параметра t
сумма всех базовых функций строго равна
1. Если веса всех контрольных точек
положительны, кривая лежит в области,
получается соединением крайних
(внешнихсли
веса всех контрольных точек положительны,
кривая лежит в области, получается
соединением крайних ()