- •Методические указания к выполнению расчетно-графического задания по теме «Векторный анализ. Элементы теории векторного поля»
- •Оглавление
- •Введение
- •Методические указания по теме «Векторный анализ. Элементы теории векторного поля»
- •Справочный материал к выполнению ргз
- •1. Криволинейные интегралы II рода (по координатам)
- •1.1. Вычисление криволинейного интеграла II рода и его механическая трактовка.
- •1.2. Условие независимости криволинейного интеграла II рода от формы пути интегрирования.
- •2. Векторная функция скалярного аргумента
- •3. Векторное поле
- •3.1. Поток векторного поля через поверхность.
- •3.2. Дивергенция векторного поля.
- •3.3. Формула Остроградского-Гаусса.
- •4. Потенциальные и соленоидальные векторные поля
- •4.1. Ротор векторного поля.
- •4.2. Потенциальное векторное поле и его потенциал.
- •4.3. Соленоидальное векторное поле.
- •Решение примерного варианта ргз
- •Задания ргз по теме «Векторный анализ. Элементы теории векторного поля»
- •Вопросы для самопроверки
- •Рекомендуемая литература
Задания ргз по теме «Векторный анализ. Элементы теории векторного поля»
РГЗ состоит из четырех задач. Задание на каждую задачу включает в себя ее формулировку и двадцать вариантов исходных данных.
Задача 1. Вычислить работу силы при перемещении точки приложения силы вдоль заданной кривой L от точки B до точки C, если значения параметра t в точках B и C заданы.
Номер варианта |
Сила |
Параметрические уравнения кривой L |
Значения параметра t в точках B и C |
1 |
|||
2 |
|||
3 |
|||
4 |
|||
5 |
|||
6 |
|||
7 |
|||
8 |
|||
9 |
|||
10 |
|||
11 |
|||
12 |
|||
13 |
|||
14 |
|||
15 |
|||
16 |
|||
17 |
|||
18 |
|||
19 |
|||
20 |
Задача 2. Задан радиус-вектор движущейся точки: . Найти векторы скорости и ускорения движения этой точки через 4 секунды после начала движения.
№ варианта |
Радиус-вектор |
№ варианта |
Радиус-вектор |
1 |
2 |
|
|
3 |
4 |
||
5 |
6 |
||
7 |
8 |
||
9 |
10 |
||
11 |
12 |
|
|
13 |
14 |
||
15 |
16 |
||
17 |
18 |
||
19 |
20 |
Задача 3. Дано векторное поле и уравнение плоскости .
Номер варианта |
Векторное поле |
Уравнение плоскости |
1 |
2x + 2y + z – 2 = 0 |
|
2 |
2x + 3y + z – 1 = 0 |
|
3 |
3x + 2y + z – 6 = 0 |
|
4 |
x + 2y + 2z – 2 = 0 |
|
5 |
3x + y + 2z – 3 = 0 |
|
6 |
4x + y + 2z – 2 = 0 |
|
7 |
x + y + 2z – 2 = 0 |
|
8 |
2x + 3y + 4z – 6 = 0 |
|
9 |
x + 2y + 4z – 4 = 0 |
|
10 |
x + 5y + z – 5 = 0 |
|
11 |
x - 2y + z – 2 = 0 |
|
12 |
2x – 3y + z – 3 = 0 |
|
13 |
2x - 2y + z – 6 = 0 |
|
14 |
- x - 2y + 2z – 2 = 0 |
|
15 |
3x + y + 2z – 3 = 0 |
|
16 |
3x - y + 2z – 2 = 0 |
|
17 |
2x +3y + 2z – 6 = 0 |
|
18 |
2x - 2y + 4z – 4 = 0 |
|
19 |
-x + 2y + 2z – 4 = 0 |
|
20 |
x + 5y + z – 5 = 0 |
Требуется:
-
найти поток поля через плоскость треугольника АВС и через плоскость AOB, где А, В, и С – точки пересечения плоскости с координатными осями, в направлении нормали плоскости, ориентированной «от начала координат»; построить чертеж пирамиды ОАВС, где О – начало координат;
-
используя формулу Остроградского-Гаусса, вычислить поток поля через полную поверхность пирамиды ОАВС в направлении внешней нормали;
-
найти циркуляцию поля по контуру треугольника АВС непосредственно и по формуле Стокса
Задача 4. Проверить, является ли векторное поле заданной силы потенциальным или соленоидальным. В случае потенциальности поля найти его потенциал и вычислить с помощью потенциала работу силы при перемещении единичной массы из точки M в точку N, где точки M и N заданы.
Номер варианта |
Сила |
Точки M и N |
1 |
M(–1, 0, 0), N(1, 2, 1) |
|
2 |
M(0, –2, 1), N(1, 0, 0) |
|
3 |
M(1, –2, 0), N(3, 0, –1) |
|
4 |
M(0, –1, –2), N(1, –3, 0) |
|
5 |
M(–2, 0, 1), N(–1, 1, 0) |
|
6 |
M(2, 1, 0), N(0, –1, 3) |
|
7 |
M(–1, 2, 1), N(0, 1, –1) |
|
8 |
M(0, 1, –2), N(1, –2, –1) |
|
9 |
M(0, –1, 4), N(1, 0, 3) |
|
10 |
M(2, –2, 1), N(3, 0, –1) |
|
11 |
M(–1, 0, 0), N(1, -2, 1) |
|
12 |
M(0, –2, 1), N(1, 0, 0) |
|
13 |
M(1, –2, 0), N(3, 0, –1) |
|
14 |
M(0, 1, 2), N(-1, 3, 0) |
|
15 |
M(–2, 0, 1), N(–1, 1, 0) |
|
16 |
M(2, 0, 0), N(0, –1, 3) |
|
17 |
M(–1, 2, 1), N(0, 1, –1) |
|
18 |
M(1, –2, –1), N(0, 1, –2) |
|
19 |
M(1, 0, 3), N(0, –1, 4) |
|
20 |
M(2, 2, 1), N(3, 0, –1) |