- •Методические указания к выполнению расчетно-графического задания по теме «Векторный анализ. Элементы теории векторного поля»
- •Оглавление
- •Введение
- •Методические указания по теме «Векторный анализ. Элементы теории векторного поля»
- •Справочный материал к выполнению ргз
- •1. Криволинейные интегралы II рода (по координатам)
- •1.1. Вычисление криволинейного интеграла II рода и его механическая трактовка.
- •1.2. Условие независимости криволинейного интеграла II рода от формы пути интегрирования.
- •2. Векторная функция скалярного аргумента
- •3. Векторное поле
- •3.1. Поток векторного поля через поверхность.
- •3.2. Дивергенция векторного поля.
- •3.3. Формула Остроградского-Гаусса.
- •4. Потенциальные и соленоидальные векторные поля
- •4.1. Ротор векторного поля.
- •4.2. Потенциальное векторное поле и его потенциал.
- •4.3. Соленоидальное векторное поле.
- •Решение примерного варианта ргз
- •Задания ргз по теме «Векторный анализ. Элементы теории векторного поля»
- •Вопросы для самопроверки
- •Рекомендуемая литература
2. Векторная функция скалярного аргумента
Если каждому значению параметра t из некоторого промежутка ставится в соответствие по некоторому правилу f определенный вектор, то говорят, что задана вектор-функция скалярного аргумента t:
. (4)
Откладывая вектор при от начала координат, получаем траекторию движения конца вектора, называемую годографом.
Проекции вектора на оси координат являются функциями аргумента t, поэтому можно записать:
.
Производная от вектора по аргументу t определяется по формуле:
,
а вторая производная соответственно:
,
Если параметр t – это время, то векторное уравнение (4) называют уравнением движения. Тогда вектор-производная называется скоростью движения:
, (5)
Скорость движения – это вектор, направленный по касательной к траектории движения (годографу) в соответствующей точке в сторону возрастания параметра t.
Вектор
. (6)
называется ускорением движения.
3. Векторное поле
3.1. Поток векторного поля через поверхность.
Если в любой точке M(x, y, z) области задан вектор , то говорят, что в области V задано векторное поле .
Примеры: силовое поле , поле скоростей текущей жидкости, электростатическое поле напряженностей .
Векторное поле является заданным, если задана векторная функция от координат точки M(x, y, z):
,
где P (x, y, z), Q (x, y, z), R (x, y, z) являются функциями, о которых предполагаем, что они непрерывны и имеют непрерывные частные производные по x, y, z в области V (область V может совпадать со всем пространством).
Аналогично определяют плоское векторное поле в двумерной области D: .
Пусть в области задана двусторонняя поверхность σ, в каждой точке которой определен орт внешней нормали – единичной вектор, коллинеарный нормали к поверхности в этой точке и направленный в сторону, которую условились считать «внешней» стороной поверхности.
Поток векторного поля через поверхность σ – это интеграл по поверхности σ от скалярного произведения вектора на орт нормали к поверхности:
.
Поток – интегральная характеристика векторного поля, скалярная величина. Например, для поля скоростей текущей жидкости поток характеризует количество жидкости, проходящей через поверхность σ в направлении «внешней» нормали в единицу времени.
Если поверхность σ задана уравнением , то вектор ее нормали совпадает с градиентом функции, задающей поверхность: , значит, орт нормали .
Для вычисления поверхностного интеграла поверхность область, ограниченную поверхностью σ, проектируют на одну из координатных плоскостей, например в область . Тогда , и вычисление потока сводится к вычислению двойного интеграла:
, (7)
где «+» следует брать в случае, когда вектор и орт «внешней»нормали , указанный в задаче, совпадают по направлению; если эти векторы противоположны по направлению, следует брать знак «–».
При вычислении двойного интеграла следует подынтегральную функцию выразить через переменные x, y, используя заданное уравнение поверхности .
Поток вектора через замкнутую поверхность σ обозначают .
3.2. Дивергенция векторного поля.
Дивергенция (или расходимость) векторного поля в точке М – это предел отношения потока вектора через замкнутую поверхность σ, окружающую точку М, в направлении ее «внешней» нормали к объему , ограниченному этой поверхностью, при условии, что вся поверхность σ стягивается в точку М:
.
Дивергенция – это дифференциальная (т.е. точечная) характеристика векторного поля; она является скалярной величиной и характеризует наличие источников (если ) или стоков (если ) векторного поля в точке М.
Дивергенция векторного поля вычисляется по формуле:
. (8)