Методические указания по теме «Векторный анализ. Элементы теории векторного поля»

В таблице 1 приведены наименования тем в соответствии с содержанием РГЗ и ссылки на литературу по этим темам. Перед выполнением РГЗ рекомендуется изучить соответствующий теоретический материал

Таблица1

№ задачи	Содержание (темы)	Литература
1	Криволинейный интеграл II рода (по координатам), его основные свойства и вычисление. Физическая трактовка криволинейного интеграла II рода	[1], гл.III, § 10.1, 10.2, 10.5; [2], гл. 13, § 5.3, 5.4, 9.2
2	Вектор-функция скалярного аргумента, ее дифференцирование. Физический смысл производных вектор-функции	[3], гл. IX, § 1-4;
3	Векторное поле. Поток векторного поля через поверхность и его вычисление с использованием поверхностного интеграла II рода. Дивергенция векторного поля. Формула Остроградского-Гаусса. Вычисление потока векторного поля через замкнутую поверхность	[1], гл. VII, § 25, 25.2, 25.3; [2], гл.13, § 12, 14.2, 14.4, 14.5;
4	Ротор векторного поля. Потенциальное векторное поле и его потенциал. Признак потенциальности векторного поля. Свойства потенциальных полей. Нахождение потенциала векторного поля с помощью криволинейного интеграла II рода. Соленоидальное векторное поле, его свойства. Признак соленоидальности векторного поля	[1], гл. VII, § 25.5, 27.1, 27.2; [2], гл. 13, § 14.3, 14.6;

Примечание. Ссылки на литературу в таблице даны в соответствии с номерами в списке рекомендуемой литературы.

Справочный материал к выполнению ргз

1. Криволинейные интегралы II рода (по координатам)

1.1. Вычисление криволинейного интеграла II рода и его механическая трактовка.

Общий вид криволинейного интеграла II рода (по координатам):

,

где AB – это дуга пространственной кривой от точки A до точки B с указанным на ней направлением,  P (x, y, z), Q (x, y, z), R (x, y, z) – некоторые функции, заданные во всех точках дуги AB.

В двумерном случае: , где ABXOY.

Пусть кривая AB задана параметрически: причем функции x (t) и y (t) – непрерывны и дифференцируемы по t, а t_A, t_B – значения параметра для начала и конца кривой (в точках А и В). Тогда

и вычисление криволинейного интеграла сводится к вычислению определенного интеграла:

, (1)

где t_A, t_B – значения параметра для начала и конца дуги AB.

Аналогичная формула составляется для трехмерного криволинейного интеграла по пространственной кривой AB, заданой параметрически.

Если P (x, y), Q (x, y) – проекции на оси OX и OY вектора направленной силы , то

– это работа переменной силы на криволинейном перемещении AB.

1.2. Условие независимости криволинейного интеграла II рода от формы пути интегрирования.

Для того чтобы криволинейный интеграл II рода не зависел от формы кривой AB, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие: (2)

во всех точках некоторой области D, содержащей кривую AB.

В этом случае существует функция U(x, y), такая, что подынтегральное выражение является ее полным дифференциалом:

.

Эту функцию можно восстановить (с точностью до константы) по ее полному дифференциалу, вычислив криволинейный интеграл по произвольному пути, соединяющему некоторую фиксированную точку (x₀, y₀) с «текущей» точкой (x, y):

. (3)