3.3. Формула Остроградского-Гаусса.

Формула Остроградского-Гаусса устанавливает связь между интегралом по замкнутой поверхности σ в направлении ее «внешней» нормали и тройным интегралом по области V, ограниченной этой поверхностью:

.

Если – векторное поле, то векторная запись формулы Остроградского-Гаусса:

, (9)

т.е. поток вектора через замкнутую поверхность σ в направлении ее «внешней» нормали равен тройному интегралу от дивергенции этого поля по области V, ограниченной этой поверхностью.

4. Потенциальные и соленоидальные векторные поля

4.1. Ротор векторного поля.

Ротором (вихрем) векторного поля называется вектор .

Ротор – это векторная величина, которая является дифференциальной характеристикой векторного поля. Всякое векторное поле сопровождает другое векторное поле его роторов.

Для вычисления ротора удобно использовать его запись в форме определителя:

(10)

где вектор – это векторно-дифференциальный оператор, называемый оператором Гамильтона «набла». При вычислении определителя умножению координат соответствует операция дифференцирования: .

4.2. Потенциальное векторное поле и его потенциал.

Векторное поле называется потенциальным, если существует такая функция , что . Функция U называется потенциалом векторного поля.

Из определения следует, что потенциальное векторное поле – это поле градиентов некоторого скалярного поля .

Признак потенциальности векторного поля: векторное поле является потенциальным тогда и только тогда, когда его ротор – нулевой вектор:

. (11)

Одно из свойств потенциальных полей заключается в том, что если . – потенциальное векторное поле, то его линейный интеграл по любой кривой MN, т.е. интеграл вида

не зависит от формы кривой MN и равен разности потенциалов в конечной и начальной точках:

. (12)

Это свойство можно использовать для нахождения потенциала векторного поля при помощи криволинейного интеграла II рода. Для этого нужно взять фиксированную точку М(x₀, y₀, z₀) и произвольную (текущую) точку N(x, y, z) и вычислить линейный интеграл по пути MN:

. (13)

При этом получаем потенциал векторного поля с точностью до произвольной постоянной.

После нахождения потенциала векторного поля его линейный интеграл для любых заданных точек M и N можно вычислить по формуле (12).

4.3. Соленоидальное векторное поле.

Векторное поле называется соленоидальным, если существует такое векторное поле , для которого поле является полем роторов: .

Поле называется векторным потенциалом векторного поля .

Признак соленоидальности векторного поля: векторное поле является соленоидальным тогда и только тогда, когда его дивергенция равна нулю: . (14)

Решение примерного варианта ргз

Задача 1. Вычислить работу силы при перемещении точки приложения силы вдоль заданной кривой L:  от точки B до точки C, если значения параметра t в точках B и C заданы: .

Решение.

Для вычисления работы используем криволинейный интеграл II рода (формула (3)): .

Составленный криволинейный интеграл сводим к определенному интегралу, используя параметрические уравнения кривой ВС:

.

Для заданной кривой получаем:

Таким образом, для нахождения работы нужно вычислить определенный интеграл:

Сделаем замену переменной в определенном интеграле:

, ,

тогда получим: .

Используем прием «подведение под знак дифференциала части подинтегральной функции»:

Ответ: ед. работы.

Задача 2. Задан радиус-вектор движущейся точки:

. Найти векторы скорости и ускорения движения этой точки через 2 минуты после начала движения.

Решение.

Вектор-функция задана в координатной форме: .

Найдем первые и вторые производные ее проекций x(t), y(t) z(t) по аргументу t:

Найдем векторы скорости и ускорения движения точки по формулам (4) и (5):

.

Через 2 минуты после начала движения векторы скорости и ускорения будут:

, .

Ответы: , .

Задача 3. Дано векторное поле и уравнение плоскости : 3x + y + 2z – 3 = 0. Требуется:

1. найти поток поля через плоскость треугольника АВС где А, В, и С – точки пересечения плоскости  с координатными осями, в направлении нормали плоскости, ориентированной «от начала координат»; построить чертеж пирамиды ОАВС, где О – начало координат;

2. используя формулу Остроградского-Гаусса, вычислить поток поля через полную поверхность пирамиды ОАВС в направлении внешней нормали.

Решение.

1. Чтобы вычислить поток поля через плоскость треугольника АВС используем формулу (6): П_АВС =, где D – проекция треугольника АВС на плоскость xOy, F – функция, задающая плоскость , которой принадлежит треугольник АВС.

Для построения чертежа найдем точки А, В, и С пересечения плоскости  с координатными осями:

.

Построим чертеж пирамиды, отложив на координатных осях точки А, В, С и соединив их с началом координат O (рис. 9).

Из уравнения плоскости : 3x + y + 2z – 3 = 0, которое имеет вид F(x, y, z) = 0, находим .

Поскольку все три проекции градиента положительные, то этот вектор образует с координатными осями острые углы, т.е. направлен «от начала координат» по отношению к плоскости . Это означает, что вектор и орт «внешней» нормали , указанный в задаче, совпадают по направлению, поэтому вычисление потока через плоскость треугольника АВС сводится к вычислению двойного интеграла: П_АВС = + (перед интегралом ставим знак «+»), где AOВ – проекция треугольника ABC на плоскость xOy.

Для расстановки пределов интегрирования по треугольнику AOВ (рис. 10) найдем уравнение прямой АВ на плоскости xOy:

Вычислим и получим подинтегральную функцию, подставив = 2 и (из уравнения плоскости):

.

Таким образом, поток поля через плоскость треугольника АВС:

.

Вычислим внутренний интеграл по переменной y:

Вычислим внешний интеграл по переменной х:

.

2) Чтобы вычислить поток поля через полную поверхность пирамиды ОАВС, воспользуемся формулой Остроградского-Гаусса:

.

Найдем дивергенцию этого поля по формуле (8): . Для поля получаем:

.

Вычислим поток поля через полную поверхность пирамиды ОАВС:

, где – объем пирамиды ОАВС. Этот объем можно вычислить, следующим образом:

.

В результате получаем: .

Ответы: П_ABC = 8,5, рисунок 9; 2) П_ОАВС = –2,25.

Задача 4. Проверить, является ли векторное поле силы потенциальным или соленоидальным. В случае потенциальности поля найти его потенциал и вычислить с помощью потенциала работу силы при перемещении единичной массы из точки M(0,1,0) в точку N(–1,2,3).

Решение.

Для проверки потенциальности векторного поля найдем его ротор по формуле (10):

Следовательно, поле потенциально.

Для проверки соленоидальности поля найдем его дивергенцию по формуле (8):

.

Следовательно, поле не соленоидально.

Для нахождения потенциала U(x, y, z) векторного поля возьмем фиксированную точку В(0, 0, 0), текущую точку С(x, y, z) и вычислим криволинейный интеграл по ломаной ВEKC, звенья которой параллельны осям координат и E(x, 0, 0), K(x, y, 0) (см. рис. 7). По формуле (12) получим:

Получили потенциал поля , где С – произвольная постоянная. Для проверки решения найдем градиент потенциала : . Следовательно, потенциал поля силы найден верно.

Найдем работу векторного поля при перемещении единичной массы из точки M(0,1,0) в точку N(–1,2,3) по формуле (11):

.

Ответы: поле потенциально, не соленоидально; , где С – произвольная постоянная; работа А = –10.