4 Производные высших порядков

Пусть функция y = f(x) дифференцируема на некотором промежутке. Производная y = f ′(x), называемая производной первого порядка представляет собой функцию от х.

Производная от производной первого порядка называется производной второго порядка от функции y = f(x) и обозначается следующим образом y′′, или f ′′ (x), или .

Аналогично, производная от производной второго порядка называется производной третьего порядка от функции y = f(x) и обозначается следующим образом: y′′′, или f′′′′(x), или .

Вообще, производной n – го порядка от заданной функции y = f(x) называется производной от производной (n-1)-го порядка и обозначается так: y⁽ⁿ⁾, или f⁽ⁿ⁾(x), или .

Чтобы найти производную указанного порядка n, необходимо предварительно найти все предшествующие производные до (n-1) порядка включительно.

Найти производные третьего порядка указанных функций:

142. y = x³+sin 2x

Решение. Дифференцируя данную функцию, находим производную y′

y′=3x²+2 cos 2x

Находим производную второго порядка y′′

y′′= (y′)′ = 6x – 4 sin 2x

Находим производную третьего порядка y′′′

y′′′= (y′′)′=6 – 8 cos 2x

143. y = ln cos x

Решение. Последовательно дифференцируя данную функцию, будем иметь:

y′ = (- sin x) = - tg x

y′′ = (-tg x)′ =-

y′′ = = x

Найти производные второго порядка указанных функций:

144. y = - 5 + 1 145. y = six

146. y = tg x 147. y = sin In x

148. y = 149. y = arccos

150. y = ln (x + )

Найти производные третьего порядка указанных функций:

151. y = (x + 1)⁵ 152. y = x² sin 2x

153. y = arctg x 154. y = ^x

155. Точка движется по прямой, причем расстояние s от начала отчета до точки (измеряется в метрах) определяется по формуле:

s = t³ – 2t² + 4t – 1

где t – время (измеряемое в секундах). Определить ускорение движения точки в конце третьей секунды.

156. Точка массы совершает гармоническое колебание около положения равновесия 0 по закону:

x = sin 2π ωt

где х – расстояние до точки от 0 в момент t, и ω – постоянные. Показать, что действующая сила пропорциональна расстоянию от 0 до точки.

157. Найти:

1) 2)

5 Определение дифференциала функции

Если функция y = f(x) дифференцируема в точке х, т.е. имеет в этой точке конечную производную y′, то = y′ + α, где α →0 при →0

Отсюда:

+α

Главная часть y′ приращения функции, линейная относительно называется дифференциалом функции и обозначается dy.

Учитывая, что dx= будем иметь

dy = y′dx

При достаточно малом dx= приращение функции равно ее дифференциалу.

Сформулируем свойство инвариантности дифференциала:

dy = f ′_x(x) dx = f ′_u(u) du

Дифференциал функции равен произведению производной этой функции на дифференциал аргумента, где аргумент может быть и независимой переменной и функцией от другой независимой переменной.

Процесс отыскания дифференциала, как и операция нахождения производной, называется дифференцированием.

158. Найти дифференциал dy функции:

y =

Решение. Исходя из определения дифференциала, имеем:

dy = y dx = ′dx = 2x dx

Данную функцию можно представить так: y = e^u, где u = x²+1. Тогда будем иметь:

dy = e^udu = d(x² + 1) = 2x dx

159. Найти дифференциал dy функции:

y = arctg e^{sin 3x}

Решение. Найдем производную y′, пользуясь правилом дифференцирования сложной функции:

y′ = 1/(1+(e^{sin 3x} )^2 ) e^{sin 3x} ∙ cos 3x ∙ 3

Тогда:

dy = e^{sin 3x} ∙ cos 3x ∙ 3 dx

Дифференциал применяется для приближенных вычислений. Из формулы

f(x+Δx) ≈ f(x) + y′Δx (1), получаем

f(x₂) ≈ f(x₁)+ f(x₁)(x₂ – x₁) (2)

160. Найти приближенное значение функции

f(x) =

При х = 3,02 исходя из ее точного значения при х = 3.

Решение. Положим x₁= 3 x₂ = 3,02

Применяя приближенное равенство (2), будем иметь:

f(3.02)= ≈ + f ′(3)(3,02 - 3) = 4 + f ′(3) 0,02

Чтобы найти f ′(3), надо предварительно данную функцию продиф-ференцировать и затем найти численное значение производной при х = 3

f ′(x) = , f ′(3) =

Таким образом: ≈ 4+ 0,02 = 4,015

161. Найти приближенное значение величины tg 47⁰

Решение. Рассмотрим функцию y = tg x. Известно, что tg 45⁰=1. Поэтому удобно положить x₁ = 45⁰ и x₂ = 47⁰.

Чтобы воспользоваться приближенным равенством (2), необходимо предварительно найти значение функции y = tg x и ее производной y′ = при x₁ = 45⁰ = y = 1 y′ = 2

Разность: x₂ – x₁ надо выразить в радианной мере

x₂ – x₁ = 47 - = = = 0,035

Следовательно: tg 47⁰ ≈ 1+20,035 = 1,070

Вычислить приближенно:

162. y = при х = 3,02 163. y = при х=0,02

164. y = при х = 1,05 165. cos 61⁰

166. tg 44⁰ 167. e^0.2

168. 169. arctg 1,05

170. arcsin 0,54 171. ln 11

172. cos 151⁰

173. Доказать формулу ≈ a + ( > 0, x > 0), где |x|<< (соотношение А<< B между положительными А и В означает, что А весьма мало по сравнению с В).

С помощью этой формулы приближенно вычислить:

174. a) б) в)